Zadanie 22 - Matura podstawowa 2023 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

Punkty

A

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Prosta

k

jest styczna do tego okręgu w punkcie

A

i tworzy z cięciwą

A B

kąt o mierze

32°

. Ponadto odcinek

A C

jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta rozwartego

B O C

jest równa

Poprawna odpowiedź

116°

Ponieważ $A C$ jest średnicą, kąt wpisany $A B C$ oparty na średnicy jest kątem prostym:
$∣∠ A B C ∣ = 90°$
Kąt między styczną $k$ a cięciwą $A B$ jest równy kątowi wpisanemu w kącie naprzemiennym, czyli kątowi $A C B$ opartemu na tym samym łuku $A B$ :
$∣∠ A C B ∣ = 32°$
Z sumy kątów w trójkącie $A B C$ obliczamy kąt $B A C$ :
$∣∠ B A C ∣ = 180° - 90° - 32° = 58°$
Kąt środkowy $B O C$ oparty na tym samym łuku $B C$ co kąt wpisany $B A C$ jest dwa razy większy od tego kąta wpisanego:
$∣∠ B O C ∣ = 2 \cdot 58° = 116°$

Podobne zadania z działu planimetria