W trapezie ABCD o podstawach AB i CD… - Matura podstawowa czerwiec 2023, zadanie 22, rozwiązanie

Zadanie 22 - Matura podstawowa 2023 (czerwiec) - Rozwiązanie

1 pkt

W trapezie

A B C D

o podstawach

A B

C D

przekątne przecinają się w punkcie

E

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $A B E$ jest podobny do trójkąta $C D E$ .	P	F
Pole trójkąta $A C D$ jest równe polu trójkąta $B C D$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Ponieważ $A B ∥ C D$ (są podstawami trapezu), proste $A C$ i $B D$ są siecznymi tych prostych równoległych, więc kąty naprzemianległe są równe: $∠ E A B = ∠ E C D$ oraz $∠ E B A = ∠ E D C$ . Kąty $∠ A E B$ i $∠ C E D$ są z kolei wierzchołkowe, więc też równe. Trójkąty $A B E$ i $C D E$ mają po dwa równe kąty, czyli są podobne (cecha kkk) — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Trójkąty $A C D$ i $B C D$ mają wspólną podstawę $C D$ . Punkty $A$ i $B$ leżą na prostej równoległej do $C D$ (bo $A B ∥ C D$ ), więc ich odległości od prostej $C D$ — czyli wysokości obu trójkątów opuszczone na $C D$ — są takie same. Trójkąty o tej samej podstawie i tej samej wysokości mają równe pola, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Obie odpowiedzi to P. Odpowiedź: PP.

Zadanie 22 - Matura podstawowa 2023 (czerwiec) - Rozwiązanie