Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 4

1 pkt

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia

2 - 2 a^{2}

dla

a = - 3

jest równa A/B.

Wyrażenie

\frac{1}{2} (2 - 2 a^{2})

można przekształcić do postaci C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

A, D

1
Obliczamy wartość wyrażenia $2 - 2 a^{2}$ dla $a = - 3$ :
$2 - 2 \cdot (- 3)^{2} = 2 - 2 \cdot 9 = 2 - 18 = - 16$

Zadanie 3 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Wielomian

W (x) = x^{4} + 81

jest podzielny przez

Zadanie 4 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

wyrażenie

(3 x + 8 y)^{2}

jest równe

Zadanie 5 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

(x - 1)^{2} - (2 - x)^{2}

jest równe

Zadanie 5 Wyrażenia algebraiczne

2 pkt

Wynikiem dzielenia wielomianu

5 x^{3} - 7 x^{2} - 4 x - 4

przez dwumian

x - 2

jest trójmian kwadratowy postaci

a x^{2} + b x + c

.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – wartości współczynników

a

,

b

oraz

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Suma dwóch dodatnich liczb

a

i

b

jest równa

46

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Po zmniejszeniu każdej z tych liczb o $6$ suma otrzymanych liczb będzie równa $34$ .
Po zwiększeniu każdej z tych liczb o połowę suma otrzymanych liczb będzie równa $69$ .

Zadanie 8 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Trójki liczb naturalnych

a

,

b

i

c

, które spełniają warunek

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

a = 2 n + 1 b = 2 n (n + 1) c = 2 n^{2} + 2 n + 1

,

gdzie

n

oznacza dowolną liczbę naturalną (

n \geq 1

). W zadaniach 8. i 9. liczby

a

,

b

i

c

są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba

a

zawsze będzie A/B.

Liczby

b

i

c

różnią się o C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 9 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Trójki liczb naturalnych

a

,

b

i

c

, które spełniają warunek

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

a = 2 n + 1 b = 2 n (n + 1) c = 2 n^{2} + 2 n + 1

,

gdzie

n

oznacza dowolną liczbę naturalną (

n \geq 1

). W zadaniach 8. i 9. liczby

a

,

b

i

c

są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jeżeli najmniejsza z liczb

a

,

b

i

c

jest równa

9

, to największa z tych liczb jest równa

Zadanie 9 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Dane są trzy liczby

a

,

b

i

c

.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Gdy

a + b + c = - 1

oraz

a

jest liczbą mniejszą od

(- 1)

, to suma

(b + c)

jest A/B.

Gdy

a \cdot b \cdot c = 1

oraz

a

jest liczbą większą od zera, to iloczyn

(b \cdot c)

jest C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 10 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Zależność między liczbą przekątnych (

k

) a liczbą boków (

n

) wielokąta wypukłego określa wzór

k = \frac{n ( n - 3 )}{2}

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba przekątnych w dwunastokącie wypukłym jest trzy razy większa od liczby przekątnych w czworokącie wypukłym.
Liczba przekątnych w ośmiokącie wypukłym jest o 11 większa od liczby przekątnych w sześciokącie wypukłym.

Zadanie 10 Wyrażenia algebraiczne

4 pkt

Reszty z dzielenia wielomianu

W (x) = x^{4} + b x^{3} + c x^{2}

przez dwumiany

(x - 2)

i

(x - 3)

są odpowiednio równe

(- 8)

oraz

(- 18)

. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu

W

przez dwumian

(x - 4)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Wyrażenia algebraiczne

2 pkt

Pewną kwotę rozdzielono na trzy nagrody pieniężne. Marcin dostał

2

razy więcej pieniędzy niż Jędrek, a Kamil

2

razy mniej niż Jędrek. Uzasadnij, że Kamil otrzymał

\frac{1}{7}

tej kwoty.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} - 6 x + 9

dla

x = 3 + 3

jest równa

Zadanie 1 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Wielomian

W (x) = x^{3} - x^{2} - x - 2

jest podzielny bez reszty przez wielomian

Zadanie 1 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Wielomian

W

określony wzorem

W (x) = x^{2019} - 3 x^{2000} + 2 x + 6