Trójki liczb naturalnych a, b i c, które spełniają warunek a² + b² = c², nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów: a = 2n + 1 b = 2n(n + 1) c = 2n² + 2n + 1, gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną (n ≥ 1). W zadaniach 8. i 9. liczby a, b i c są wyznaczone za pomocą tych wzorów. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jeżeli najmniejsza z liczb a, b i c jest równa 9, to największa z tych liczb jest równa

Zadanie 9, egzamin ósmoklasisty maj 2021

1 pkt

Trójki liczb naturalnych

a

b

c

, które spełniają warunek

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

a = 2 n + 1 b = 2 n (n + 1) c = 2 n^{2} + 2 n + 1

,

gdzie

n

oznacza dowolną liczbę naturalną (

n \geq 1

). W zadaniach 8. i 9. liczby

a

b

c

są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jeżeli najmniejsza z liczb

a

b

c

jest równa

9

, to największa z tych liczb jest równa

41

Liczba $c$ jest większa od $b$ o $1$ , a $b - a = 2 n^{2} - 1 > 0$ , więc $b$ jest większe od $a$ . Najmniejsza jest więc liczba $a$ , a największa liczba $c$ . Z równania $a = 9$ wyznaczamy $n$ .
$2 n + 1 = 9 2 n = 8 n = 4$
Podstawiamy $n = 4$ do wzoru na $c$ .
$c = 2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1 = 32 + 8 + 1 = 41$