Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Podobnie jak poprzednio, $D$ jest środkiem boku $AB$ (bo $CD$ to środkowa z wierzchołka $C$), więc $AD=3$. Kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty, więc z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$ wyznaczamy $AC$:
   $$AC=\sqrt{C{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$
2. Obliczamy długość przeciwprostokątnej $BC$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$:
   $$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$
3. Sinus kąta $\beta$ (przy wierzchołku $B$) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ($AC$) do przeciwprostokątnej:
   $$\sin \beta =\frac{AC}{BC}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$$

1. Kąt środkowy $AOB$ jest oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt wpisany $BCA$, więc jest od niego dwa razy większy:
   $$\angle AOB=2\cdot 50°=100°$$
2. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, bo $OA=OB$ jako promienie okręgu, więc kąty przy podstawie $AB$ są równe. Korzystamy z sumy kątów w trójkącie:
   $$\angle ABO=\frac{180°-100°}{2}=40°$$

1. Obliczamy długość boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości. Skala $1:20$ oznacza, że rzeczywista długość jest $20$ razy większa niż długość na rysunku:
   $$3\text{ cm}\cdot 20=60\text{ cm}$$
2. Obliczamy pole małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:
   $$P_{małej}=60\text{ cm}\cdot 60\text{ cm}=3600{\text{ cm}}^2$$
3. Obliczamy pole dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości:
   $$P_{du\dot{z}ej}=240\text{ cm}\cdot 90\text{ cm}=21600{\text{ cm}}^2$$
4. Obliczamy, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy:
   $$\frac{P_{du\dot{z}ej}}{P_{małej}}=\frac{21600{\text{ cm}}^2}{3600{\text{ cm}}^2}=6$$
5. Pole dużej tablicy jest $6$ razy większe od pola małej tablicy.

1. Punkt $L$ leży w odległości $2$ działek od punktu $K$, a jego współrzędna to $5$. Jedna działka na pierwszej osi ma więc długość $\frac{5}{2}$. Obliczamy współrzędną $x$ punktu $M$, który jest oddalony od $K$ o $9$ działek.
   $$x=\frac{5}{2}\cdot 9=22,5$$
2. Punkt $S$ leży w odległości $9$ działek od punktu $P$, a jego współrzędna to $18$. Jedna działka na drugiej osi ma więc długość $\frac{18}{9}$. Obliczamy współrzędną $y$ punktu $R$, który jest oddalony od $P$ o $3$ działki.
3. Obliczamy iloczyn liczb $x$ i $y$.
   $$x\cdot y=22,5\cdot 6=135$$

1. Z warunku $|AB|=2\cdot |CD|$ oraz $AB\parallel CD$ wynika, że trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne (kąty wierzchołkowe przy $E$ oraz kąty naprzemianległe przy $AB\parallel CD$) w skali $2:1$. Przekątne dzielą się więc w punkcie $E$ w tym samym stosunku.
   $$|AE|:|EC|=|BE|:|ED|=|AB|:|CD|=2:1$$
2. Trójkąty $AED$ i $CED$ mają wspólny wierzchołek $D$, a ich podstawy $AE$ i $EC$ leżą na jednej prostej $AC$, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi tych podstaw.
   $$\frac{P_{AED}}{P_{CED}}=\frac{|AE|}{|EC|}=2$$
3. Obliczamy szukane pole, korzystając z danego pola trójkąta $CDE$.
   $$P_{AED}=2\cdot P_{CED}=2\cdot 2=4$$

1. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, żeby obliczyć sinus kąta $\alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ & {\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\end{array}$$
2. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin \alpha$ jest dodatni:
   $$\sin \alpha =\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$$
3. Tangens to iloraz sinusa i cosinusa:
   $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{5}$$

1. Ponieważ $10^2+24^2=26^2$, trójkąt jest prostokątny, a bok $26$ jest przeciwprostokątną. Obliczamy jego pole:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120$$
2. Obliczamy połowę obwodu trójkąta:
   $$s=\frac{10+24+26}{2}=30$$
3. Promień okręgu wpisanego w trójkąt to iloraz pola i połowy obwodu:
   $$r=\frac{P}{s}=\frac{120}{30}=4$$

1. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej, więc przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu. Promień jest zatem równy połowie przeciwprostokątnej:
   $$R=\frac{26}{2}=13$$

1. Z warunku $|AB|=2\cdot |CD|$ oraz $AB\parallel CD$ wynika, że trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne w skali $2:1$, więc przekątne dzielą się w punkcie $E$ w stosunku $2:1$.
   $$|AE|:|EC|=|BE|:|ED|=|AB|:|CD|=2:1$$
2. Trójkąty $ABE$ i $CBE$ mają wspólny wierzchołek $B$, a ich podstawy $AE$ i $EC$ leżą na jednej prostej $AC$, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi tych podstaw.
   $$\frac{P_{ABE}}{P_{CBE}}=\frac{|AE|}{|EC|}=2$$
3. Obliczamy szukane pole, korzystając z danego pola trójkąta $BCE$.
   $$P_{ABE}=2\cdot P_{CBE}=2\cdot 4=8$$

1. Podstawiamy znane wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $30^{\circ }$ i $60^{\circ }$:
   $$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2},\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
2. Obliczamy wartość wyrażenia:
   $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$

1. Trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne, z odpowiedniością wierzchołków $A\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow A$ (wynika ona z kolejności liter w nazwach trójkątów), więc odpowiednie boki są proporcjonalne:
   $$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{DA}=\frac{CA}{AB}$$
2. Korzystamy z proporcji łączącej boki $AB$, $BD$ oraz $CA$, $AB$, podstawiając długości boków trójkąta $ABC$:
   $$\frac{AB}{BD}=\frac{CA}{AB}⟹\frac{3}{BD}=\frac{4}{3}$$
3. Wyznaczamy $BD$:
   $$BD=\frac{3\cdot 3}{4}=\frac{9}{4}=2,25$$