Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wprowadzamy oznaczenie: niech $x$ oznacza cenę hulajnogi w sklepie A.
2. Cena hulajnogi w sklepie B stanowi $80\%$ ceny hulajnogi w sklepie A, czyli:
   $$0,8x$$
3. Cena hulajnogi w sklepie C stanowi $120\%$ ceny hulajnogi w sklepie B, czyli:
   $$1,2\cdot 0,8x=0,96x$$
4. Porównujemy cenę hulajnogi w sklepie C z ceną hulajnogi w sklepie A:
   $$0,96x<x$$
5. Ponieważ $0,96x<x$, cena hulajnogi w sklepie C jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie A.

1. W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$\begin{array}{rl}& m^2=4(m-1)\\ & m^2-4m+4=0\\ & (m-2{)}^2=0\\ & m=2\end{array}$$
2. Sprawdzamy: dla $m=2$ ciąg to $(4,2,1)$ o ilorazie $q=\frac{1}{2}\ne 0$ — to poprawny ciąg geometryczny.

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
   $$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$
2. Czwarty wyraz obliczamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:
   $$a_4=a_1\cdot q^3=27\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=27\cdot \frac{1}{27}=1$$

1. Wyłączamy $\sin 25^{\circ }$ przed nawias w liczniku:
   $$\frac{\sin 25^{\circ }\left({\sin }^{2}25^{\circ }+{\cos }^{2}25^{\circ }\right)}{\cos 25^{\circ }}$$
2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ oraz definicji tangensa:
   $$\frac{\sin 25^{\circ }\cdot 1}{\cos 25^{\circ }}=\text{tg}25^{\circ }$$

1. Obliczamy koszt zakupu koszulki:
   $$\frac{1}{5}\cdot 300=60\text{ (zł)}$$
2. Obliczamy kwotę pozostałą po zakupie koszulki:
   $$300-60=240\text{ (zł)}$$
3. Obliczamy koszt zakupu torby:
   $$\frac{3}{5}\cdot 240=3\cdot 48=144\text{ (zł)}$$
4. Obliczamy kwotę, która została Kamilowi po zakupach:
   $$240-144=96\text{ (zł)}$$
5. Odpowiedź: Po zakupach Kamilowi zostało $96$ zł.

1. Wyraz $a_6$ zapisujemy przez $a_3$ i iloraz $q$:
   $$a_6=a_3\cdot q^3$$
2. Podstawiamy do warunku $a_3=-8\cdot a_6$ i dzielimy obie strony przez $a_3\ne 0$:

1. Zapisujemy $\mathrm{tg}\alpha$ jako $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ i podstawiamy do równania:
   $$\sqrt{3}\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\sin \alpha$$
2. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin \alpha \ne 0$ – możemy podzielić obie strony przez $\sin \alpha$, a następnie wyznaczyć $\cos \alpha$:
   $$\frac{\sqrt{3}}{\cos \alpha }=2⟹\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$$

1. Obliczamy czas przejazdu Kuby na skuterze: od $8:44$ do $9:06$ minęło $22$ minuty.
2. Obliczamy czas przejazdu Pawła na rowerze, korzystając ze wzoru $t=\frac{s}{v}$:
   $$t_{roweru}=\frac{7,5\text{ km}}{18\frac{\text{km}}{\text{h}}}=\frac{75}{180}\text{ h}=\frac{25}{60}\text{ h}=25\text{ minut}$$
3. Porównujemy czasy przejazdu:
   $$25\text{ minut}>22\text{ minuty}$$
4. Ponieważ czas przejazdu Pawła jest dłuższy, Kuba przejechał tę trasę w krótszym czasie.

1. Ciąg $(\sqrt{5},1,x)$ jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz to średnia arytmetyczna skrajnych:
   $$\begin{array}{rl}& 2\cdot 1=\sqrt{5}+x\\ & x=2-\sqrt{5}\end{array}$$
2. Ponieważ $\sqrt{5}\approx 2,24>2$, to $x<0$.
3. Ciąg $(\sqrt{5},1,y)$ jest geometryczny, więc iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{y}{1}\\ & y=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}$$
4. Ponieważ $\sqrt{5}>0$, to $y>0$. Zatem $x<0$ i $y>0$.

1. Z jedynki trygonometrycznej obliczamy $\cos \alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{16}{49}=\frac{33}{49}\\ & \cos \alpha =\frac{\sqrt{33}}{7}\end{array}$$
2. Ponieważ $\frac{\sqrt{33}}{7}\ne \frac{3}{7}$, pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Kąty $\alpha$ i $\beta$ to kąty ostre tego samego trójkąta prostokątnego, więc $\alpha +\beta =90^{\circ }$, czyli $\beta =90^{\circ }-\alpha$. Stąd $\cos \beta =\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha =\frac{4}{7}$ — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).