Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych dwóch bokach i kącie między nimi.
   $$P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot \sin (\angle CAB)$$
2. Podstawiamy dane wartości, korzystając z $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$$

1. Niech długość boku kwadratu ${\mathcal{K}}_1$ będzie równa $a$. Ponieważ kwadrat ${\mathcal{K}}_2$ jest podobny do ${\mathcal{K}}_1$ w skali $5$, bok kwadratu ${\mathcal{K}}_2$ jest równy $5a$.
2. Suma pól obu kwadratów jest równa $78$:
   $$a^2+(5a{)}^2=78$$
3. Upraszczamy lewą stronę:
   $$a^2+25a^2=26a^2=78$$
4. Obliczamy $a$:
   $$a^2=3⟹a=\sqrt{3}$$

1. Kąt wpisany $BDA$ jest oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt środkowy $BSA$, więc kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego:
   $$\angle BSA=2\cdot \angle BDA=2\cdot 40^{\circ }=80^{\circ }$$
2. Kąt $80^{\circ }$ jest kątem ostrym, więc to szukana odpowiedź.

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ też ma współczynnik kierunkowy równy $5$. Ponieważ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$, jej równanie ma postać:
   $$l:y=5x-4$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(p,2)$ do równania prostej $l$:
   $$2=5p-4$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie:
   $$5p=6⟹p=\frac{6}{5}$$

1. Punkt $S$ to środek przekątnej $AC$ (przecięcie przekątnych kwadratu), więc odległość $|AS|$ to połowa długości przekątnej. Obliczamy tę odległość:
   $$|AS|=\sqrt{(4-1{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
2. Przekątna kwadratu jest dwa razy dłuższa od $|AS|$:
   $$|AC|=2\cdot 5=10$$

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe.
   $$3-m=m+3$$
2. Rozwiązujemy równanie względem $m$.
   $$\begin{array}{rl}& 3-m=m+3\\ & -2m=0\\ & m=0\end{array}$$

1. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem kąta między danymi bokami:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot \sin \left(\angle CAB\right)$$
2. Podstawiamy dane wartości ($\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$):

1. Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku $BC$ leżącego naprzeciw kąta $CAB$:
   $$|BC{|}^2=|AB{|}^2+|AC{|}^2-2\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot \cos \left(\angle CAB\right)$$
2. Podstawiamy dane wartości ($\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$):
   $$\begin{array}{rl}& |BC{|}^2=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{1}{2}\\ & |BC{|}^2=36+16-24=28\end{array}$$
3. Zatem:
   $$|BC|=\sqrt{28}$$

1. Ściana boczna jest trójkątem równobocznym o boku $8$, więc krawędź podstawy i krawędź boczna ostrosłupa mają długość $8$.
2. Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku podstawy — kwadratu o boku $8$. Obliczamy połowę przekątnej podstawy, czyli odległość środka podstawy od jej wierzchołka.
   $$\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$
3. Wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
   $$h^2+(4\sqrt{2}{)}^2=8^2$$
4. Wyznaczamy wysokość $h$.
   $$\begin{array}{rl}& h^2+32=64\\ & h^2=32\\ & h=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\end{array}$$

1. Proste są równoległe wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
   $$m-2=-4$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$m=-4+2=-2$$

1. Z równania okręgu $\mathcal{O}$ odczytujemy jego środek i promień:
   $$S=(-1,2),r=3$$
2. W symetrii osiowej względem osi $Oy$ punkt o współrzędnych $(x,y)$ przechodzi na punkt $(-x,y)$, więc środek okręgu przechodzi na punkt:
   $$S^{\prime }=(1,2)$$
3. Promień się nie zmienia, więc okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem:
   $$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$$