Zbiór zadań

Znaleziono 35 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy wartość funkcji dla $x=36$:
   $$f(36)={\log }_{6}36={\log }_6{6}^2=2$$
2. Otrzymana wartość $2$ jest różna od $6$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Podstawa logarytmu $6>1$, więc funkcja logarytmiczna $f(x)={\log }_{6}x$ jest rosnąca — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Obliczamy $a$, korzystając z tego, że $4=2^2$:
   $$a=4^{{\log }_{2}45}={\left(2^2\right)}^{{\log }_{2}45}=2^{2{\log }_{2}45}={\left(2^{{\log }_{2}45}\right)}^2=45^2=2025$$
2. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu ${\log }_{9}2023=\frac{{\log }_{3}2023}{{\log }_{3}9}$ i obliczamy $b$:
3. Obliczamy różnicę:
   $$a-b=2025-2=2023$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:
   $${\log }_{2}96-{\log }_{2}3={\log }_2\frac{96}{3}={\log }_{2}32$$
2. Obliczamy logarytm, szukając wykładnika potęgi $2$ równego $32$:
   $${\log }_{2}32={\log }_2{2}^5=5$$

1. Pierwszy składnik: ${\log }_{25}1=0$, bo logarytm z jedynki przy dowolnej podstawie zawsze wynosi zero.
2. Obliczamy ${\log }_{25}5$. Ponieważ $25=5^2$, to $5=25^{\frac{1}{2}}$, więc:
   $${\log }_{25}5=\frac{1}{2}$$
3. Podstawiamy do wyrażenia:
   $$0-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$

1. Korzystamy z własności logarytmów ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$:
   $${\log }_{9}27+{\log }_{9}3={\log }_9(27\cdot 3)={\log }_{9}81$$
2. Zapisujemy $81$ jako potęgę liczby $9$ i obliczamy logarytm:
   $${\log }_{9}81={\log }_9{9}^2=2$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$:
   $${\log }_2\frac{1}{8}+{\log }_{2}4={\log }_2\left(\frac{1}{8}\cdot 4\right)$$
2. Mnożymy pod logarytmem, skracając licznik i mianownik przez $4$:
   $${\log }_2\left(\frac{\bcancel{4}}{{\bcancel{8}}_2}\right)={\log }_2\frac{1}{2}$$
3. Liczba $\frac{1}{2}=2^{-1}$, więc logarytm o podstawie $2$ z tej liczby jest równy $-1$:
   $${\log }_2\frac{1}{2}={\log }_2{2}^{-1}=-1$$

1. Przekształcamy pierwszy składnik, korzystając z zapisu $81=3^4$ oraz własności $3^{{\log }_{3}x}=x$:
   $$81^{{\log }_{3}x}={\left(3^4\right)}^{{\log }_{3}x}={\left(3^{{\log }_{3}x}\right)}^4=x^4$$
2. Upraszczamy ${\log }_2\sqrt{27}$, zapisując $\sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}$:
3. Podstawiamy do współczynnika przy $x^2$:
   $$\frac{2\cdot \frac{3}{2}{\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2}{3}={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2$$
4. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu (${\log }_{2}3=\frac{1}{{\log }_{3}2}$), więc iloczyn upraszcza się do $1$:
   $${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2=\frac{1}{{\log }_{3}2}\cdot {\log }_{3}2=1$$
5. Podstawiając oba wyniki, otrzymujemy równoważną postać wyrażenia:
   $$81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x=x^4+1\cdot x^2-6x=x^4+x^2-6x$$

1. Zapisz oba logarytmy jako potęgi i skorzystaj ze wzoru na logarytm potęgi.
   $$\begin{array}{rl}& {\log }_3\sqrt{27}={\log }_{3}27^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{3}27=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}\\ & {\log }_{27}\sqrt{3}={\log }_{27}{3}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{27}3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{array}$$
2. Odejmij otrzymane wartości.
   $$\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{9}{6}-\frac{1}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

1. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu do ${\log }_{25}27$, zapisując go przy podstawie $3$:
   $${\log }_{25}27=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_{3}25}=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_3{5}^2}=\frac{{\log }_{3}27}{2{\log }_{3}5}$$
2. Mnożymy przez ${\log }_{3}5$, dzięki czemu upraszcza się licznik całego wyrażenia:
   $${\log }_{3}5\cdot {\log }_{25}27={\log }_{3}5\cdot \frac{{\log }_{3}27}{2{\log }_{3}5}=\frac{{\log }_{3}27}{2}$$
3. Przekształcamy mianownik, korzystając z definicji pierwiastka oraz wzoru na logarytm potęgi:
   $${\log }_7\sqrt[6]{49}={\log }_7{\left(7^2\right)}^{\frac{1}{6}}={\log }_7{7}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}{\log }_{7}7=\frac{1}{3}$$
4. Obliczamy wartość wyrażenia, korzystając z definicji logarytmu (${\log }_{3}27=3$):
   $$\frac{{\log }_{3}5\cdot {\log }_{25}27}{{\log }_7\sqrt[6]{49}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}$$

1. Korzystamy z własności logarytmów: różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu:
   $${\log }_{2}32-{\log }_{2}8={\log }_2\frac{32}{8}={\log }_{2}4$$
2. Obliczamy logarytm:
   $${\log }_{2}4=2$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi $n{\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$:
   $$\begin{array}{rl}& 4{\log }_{4}2={\log }_4{2}^4={\log }_{4}16\\ & 2{\log }_{4}8={\log }_4{8}^2={\log }_{4}64\end{array}$$
2. Sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniamy na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{4}16+{\log }_{4}64={\log }_4(16\cdot 64)={\log }_{4}1024$$
3. Ponieważ $4^5=1024$, otrzymujemy:
   $${\log }_{4}1024=5$$

1. Zapisujemy $\sqrt{10}$ jako potęgę o wykładniku $\frac{1}{2}$ i korzystamy z własności logarytmu potęgi:
   $$f(\sqrt{10})=-\log \left(10^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\log 10=-\frac{1}{2}$$

1. Zapisujemy $9$ jako potęgę liczby $3$ i korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi.
   $${\log }_{2}9={\log }_2{3}^2=2{\log }_{2}3$$
2. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu: ${\log }_{2}3=\frac{1}{{\log }_{3}2}$.
   $$2{\log }_{2}3=\frac{2}{{\log }_{3}2}$$
3. Mianownik zapisujemy jako ${\log }_3\sqrt{2}$, korzystając ze wzoru na logarytm potęgi.
   $$\begin{array}{rl}& {\log }_3\sqrt{2}={\log }_3{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{3}2\\ & \text{więc }{\log }_{3}2=2{\log }_3\sqrt{2}\end{array}$$
4. Podstawiamy do wyrażenia z poprzedniego kroku.
   $$\frac{2}{{\log }_{3}2}=\frac{2}{2{\log }_3\sqrt{2}}=\frac{1}{{\log }_3\sqrt{2}}$$
5. Otrzymana wartość odpowiada odpowiedzi C.