Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 127

4 pkt

Rozwiąż równanie

4 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x - 1

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

.

x = \frac{7 π}{30}

,

x = \frac{11 π}{30}

,

x = \frac{19 π}{30}

,

x = \frac{23 π}{30}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Dzielimy równanie stronami przez $2$ . Po lewej stronie zostaje iloczyn $2 sin 7 x cos 2 x$ , który zamienimy na sumę.
$4 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x - 1 2 sin 7 x cos 2 x = sin 9 x - \frac{1}{2}$

Zadanie 14 Geometria przestrzenna

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment siatki prostopadłościanu oraz podano długości niektórych jego krawędzi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Dany jest okrąg o środku

S

i promieniu

18

. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku

S_{1}

i promieniu

x

oraz drugi o środku

S_{2}

i promieniu

2 x

, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu $18$ ;
punkty: $S$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach

a

,

b

,

c

można obliczyć ze wzoru Herona

P = p (p - a) (p - b) (p - c)

, gdzie

p

- jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta

S S_{1} S_{2}

jako funkcję zmiennej

x

. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

V = 2

. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie

O

i promieniu

5

oraz okrąg o środku w punkcie

P

i promieniu

3

. Odcinek

O P

ma długość

16

. Prosta

A B

jest styczna do tych okręgów w punktach

A

i

B

. Ponadto prosta

A B

przecina odcinek

O P

w punkcie

K

(zobacz rysunek).

Wtedy

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie

O

i promieniu

5

oraz okrąg o środku w punkcie

P

i promieniu

3

. Odcinek

O P

ma długość

16

. Prosta

A B

jest styczna do tych okręgów w punktach

A

i

B

. Ponadto prosta

A B

przecina odcinek

O P

w punkcie

K

(zobacz rysunek).

Wtedy

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Z sześciu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi

1

cm zbudowano bryłę I. Następnie z bryły tej usunięto dwa sześciany i otrzymano bryłę II (patrz: rysunki).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni bryły II jest mniejsze od pola powierzchni bryły I o

Zadanie 15 Geometria analityczna

1 pkt

Pole trójkąta

A B C

o wierzchołkach

A = (0, 0)

,

B = (4, 2)

,

C = (2, 6)

jest równe

Zadanie 15 Geometria analityczna

1 pkt

Okrąg, którego środkiem jest punkt

S = (a, 5)

, jest styczny do osi

O y

i do prostej o równaniu

y = 2

. Promień tego okręgu jest równy

Zadanie 16 Geometria przestrzenna

1 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

(zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta

S A C

jest równa

Zadanie 16 Procenty

2 pkt

Na diagramie przedstawiono informacje, jaki procent meczów w ciągu całego sezonu drużyna piłkarska zakończyła wygraną, jaki – przegraną, a jaki – remisem.

W ciągu całego sezonu drużyna wygrała

10

meczów. Ile meczów w sezonie ta drużyna przegrała? Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Planimetria

1 pkt

Na okręgu o środku w punkcie

O

wybrano trzy punkty

A

,

B

,

C

tak, że

∣ ∢ A O B ∣ = 7 0^{\circ}

,

∣ ∢ O A C ∣ = 2 5^{\circ}

. Cięciwa

A C

przecina promień

O B

(zobacz rysunek). Wtedy miara

∢ O B C

jest równa

Zadanie 16 Procenty

2 pkt

We wtorek w kwiaciarni obowiązywały ceny zapisane poniżej.

róża	$8$ zł
goździk	$3$ zł
gerbera	$5$ zł
tulipan	$3$ zł

Za dodatki użyte do wykonania bukietu dolicza się

20%

wartości kwiatów, z których wykonano ten bukiet. Ile zapłaci tego dnia klient za bukiet złożony z

3

tulipanów,

2

róż i

5

goździków? Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Planimetria

1 pkt

Dany jest romb o boku długości

4

i kącie rozwartym

15 0^{\circ}

. Pole tego rombu jest równe

Zbiór zadań

Wyniki