Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Wyznaczamy część wspólną obu przedziałów:
   $$(-\infty ,5)\cap ⟨-1,+\infty )=⟨-1,5)$$
2. Liczby całkowite należące do przedziału $⟨-1,5)$ to $-1,0,1,2,3,4$ — jest ich $6$.

1. Zapisujemy zależność między $x$ i $y$: liczba $x$ stanowi $80\%$ liczby $y$, czyli
   $$x=0,8y$$
2. Wyznaczamy $y$ z równania:
   $$\begin{array}{rl}& y=\frac{x}{0,8}\\ & y=1,25x\end{array}$$
3. Zatem liczba $y$ to $125\%$ liczby $x$.

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.
2. Podstawiamy $a=3x$ oraz $b=8y$:
   $$\begin{array}{rl}& (3x+8y{)}^2=(3x{)}^2+2\cdot 3x\cdot 8y+(8y{)}^2\\ & =9x^2+48xy+64y^2\end{array}$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi, żeby uprościć pierwszy składnik:
   $$2\log \sqrt{10}=\log {\left(\sqrt{10}\right)}^2=\log 10=1$$
2. Obliczamy drugi składnik:
   $$\log 10^3=3$$
3. Dodajemy oba wyniki:
   $$1+3=4$$

1. Sprawdzamy, czy $x=-2$ spełnia równanie z odpowiedzi D, podstawiając za $x$:
   $$\begin{array}{rl}& x^2(x+2)+2(x+2)=0\\ & (-2{)}^2\cdot ((-2)+2)+2\cdot ((-2)+2)=0\\ & 4\cdot 0+2\cdot 0=0\\ & 0=0\end{array}$$
2. Równość jest prawdziwa, więc $x=-2$ jest rozwiązaniem tego równania. W pozostałych równaniach liczba $(-2)$ nie spełnia warunków — w równaniu C mianownik $x+2$ się zeruje, a w równaniach A i B po podstawieniu otrzymujemy fałszywe równości.

1. Zamieniamy ułamek okresowy $0,(3)$ na ułamek zwykły:
   $$0,(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$
2. Sprowadzamy do wspólnego mianownika $33$:
   $$\frac{1}{3}=\frac{11}{33}$$
3. Odejmujemy ułamki i skracamy wynik:
   $$\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=-\frac{12}{33}=-\frac{\bcancel{3}\cdot 4}{\bcancel{3}\cdot 11}=-\frac{4}{11}$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $4$, aby pozbyć się ułamka:
   $$\begin{array}{rl}20-(2-6x)& \ge 4(2x+1)\\ 18+6x& \ge 8x+4\end{array}$$
2. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą:
   $$\begin{array}{rl}18-4& \ge 8x-6x\\ 14& \ge 2x\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $2$:
   $$\begin{array}{rl}7& \ge x\\ x& \le 7\end{array}$$
4. Zbiorem rozwiązań jest przedział $(-\infty ,7⟩$.

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $2$ i redukujemy wyrazy podobne:
   $$\begin{array}{rl}2-x-4x& \ge 2\\ 2-5x& \ge 2\\ -5x& \ge 0\end{array}$$
2. Dzielimy obie strony przez $-5$, zmieniając zwrot nierówności:
   $$x\le 0$$

1. Odczytujemy z wykresu wartość funkcji $f$ w punkcie $x=2$. Odcinek łączący punkty $(0,-2)$ i $(3,1)$ przechodzi przez punkt $(2,0)$, więc:
   $$f(2)=0$$
2. Obliczamy $g(2)$ korzystając ze wzoru $g(x)=f(x)-2$:
   $$g(2)=f(2)-2=0-2=-2$$
3. Sumujemy obie wartości:
   $$f(2)+g(2)=0+(-2)=-2$$

1. Przesunięcie wykresu funkcji o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $Ox$ oznacza, że $g(x)=f(x+2)$.
2. Podstawiamy $x+2$ do wzoru funkcji $f$:
   $$\begin{array}{rl}& g(x)=-2(x+2)+4\\ & g(x)=-2x-4+4\\ & g(x)=-2x\end{array}$$

1. Z wykresu odczytujemy, że jedna prosta przechodzi przez punkty $(-1,0)$ i $(0,1)$, więc ma współczynnik kierunkowy $1$ i wyraz wolny $1$:
   $$y=x+1$$
2. Druga prosta przechodzi przez punkty $(0,4)$ i $(2,0)$, więc ma współczynnik kierunkowy $-2$ i wyraz wolny $4$:
   $$y=-2x+4$$
3. Zatem układ równań przedstawiony na rysunku to $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-2x+4\end{array}$, czyli odpowiedź A.

1. Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$. Podstawiamy $x=-1$:
   $$f(-1)=a\cdot (-1)+4=-a+4$$
2. Przyrównujemy otrzymane wyrażenie do zera i wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}-a+4& =0\\ a& =4\end{array}$$

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
   $$\frac{m-3}{2}=3$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& m-3=6\\ & m=9\end{array}$$

1. Kąt nachylenia prostej do osi $Ox$ wynosi $45°$, więc współczynnik kierunkowy prostej jest równy:
   $$a=\tan 45^{\circ }=1$$
2. Prosta ma więc równanie $y=x+b$. Podstawiamy współrzędne punktu $A=(2,-3)$ i wyznaczamy $b$:
   $$\begin{array}{rl}-3& =2+b\\ b& =-5\end{array}$$
3. Zatem prosta $k$ ma równanie $y=x-5$.