Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Odczytujemy z równania okręgu środek i promień: $\mathcal{O}$ ma środek $S=(1,-3)$ i promień $r=2$.
2. Odległość środka od osi $Ox$ to wartość bezwzględna współrzędnej $y$ środka:
   $$d(S,Ox)=|-3|=3>2=r$$
3. Skoro odległość środka od osi $Ox$ jest większa od promienia, okrąg nie ma punktów wspólnych z tą osią — stwierdzenie pierwsze jest prawdziwe (P).
4. Odległość środka od osi $Oy$ to wartość bezwzględna współrzędnej $x$ środka:
   $$d(S,Oy)=|1|=1<2=r$$
5. Skoro odległość środka od osi $Oy$ jest mniejsza od promienia, okrąg przecina tę oś w dokładnie dwóch punktach — stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).

1. Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, po przeciwnych stronach osi. Wysokość, promień podstawy i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między tworzącą a wysokością (osią stożka) jest równy połowie kąta rozwarcia, czyli $30°$.
2. Tworząca $l=6$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta, więc wysokość obliczamy z definicji cosinusa:
   $$h=l\cos 30^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

1. Bok sześcianu $a$ spełnia $a^3=729$, czyli $a=9$ (bo $9^3=729$).
2. Długość przekątnej sześcianu o boku $a$ wynosi $a\sqrt{3}$:
   $$d=9\sqrt{3}$$

1. Liczba trzycyfrowa nieparzysta ma cyfrę jedności nieparzystą (ze zbioru $\{1,3,5,7,9\}$), więc na pewno różną od $0$. Cyfra setek też nie może być $0$, bo wtedy liczba miałaby mniej niż trzy cyfry. Zatem jedynym miejscem, gdzie może wystąpić cyfra $0$, jest cyfra dziesiątek.
2. Ponieważ szukamy liczb z dokładnie jednym zerem, cyfra dziesiątek musi być równa $0$.
3. Cyfrę setek wybieramy na $9$ sposobów (od $1$ do $9$), cyfrę dziesiątek na $1$ sposób (musi być $0$), a cyfrę jedności na $5$ sposobów (liczby nieparzyste). Z reguły mnożenia:
   $$9\cdot 1\cdot 5=45$$

1. Objętość walca opisuje wzór $V=\pi r^{2}h$. Podstawiamy promień $r=2$ i objętość $V=16{\pi }^2$:
   $$16{\pi }^2=\pi \cdot 2^2\cdot h=4\pi h$$
2. Wyznaczamy wysokość walca:
   $$h=\frac{16{\pi }^2}{4\pi }=4\pi$$

1. Zdarzeń elementarnych (par wyników dwóch rzutów) jest $6\cdot 6=36$, wszystkie jednakowo prawdopodobne.
2. Suma oczek równa $11$ zachodzi tylko dla par $(5,6)$ oraz $(6,5)$ — są to $2$ zdarzenia sprzyjające.
3. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P(A)=\frac{2}{36}$$

1. Cyfry nieparzyste to $1,3,5,7,9$. Aby liczba trzycyfrowa o wszystkich cyfrach nieparzystych była większa od $500$, cyfra setek musi być nieparzysta i nie mniejsza niż $5$, czyli musi należeć do zbioru $\{5,7,9\}$ — daje to $3$ możliwości.
2. Cyfra dziesiątek i cyfra jedności mogą być dowolną z pięciu cyfr nieparzystych, więc mamy po $5$ możliwości dla każdej z nich. Korzystamy z reguły mnożenia:
   $$3\cdot 5\cdot 5=75$$