Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = x^{2} + 4

. W układzie współrzędnych

(x, y)

styczna do wykresu tej funkcji w punkcie

(2, 8)

przecina oś

O x

w punkcie

B.

(0, 0)

1
Liczymy pochodną funkcji $f$ .
$f^{'} (x) = 2 x$
2
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $(2, 8)$ to wartość pochodnej w $x = 2$ .

Zadanie 2 Pochodne

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 7

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Funkcja

f

ma dokładnie

Zadanie 3 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{a x ^{2} + x}{x - 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

.

Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których pochodna funkcji

f

w punkcie

x = a

jest równa

(- \frac{1}{2} a)

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Pochodne

4 pkt

Pole

P

trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

dla każdego

x \in (4, 10]

.

Wyznacz długość

x

podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.2 Pochodne

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

.

Pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

dla

a < 0

.

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną

A B

tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Pochodne

4 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości

x

metrów nieprzekraczającej

10

metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy

4

metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Pole

P

trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

dla każdego

x \in (4, 10 ⟩

.

Wyznacz długość

x

podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Pochodne

4 pkt

Wielomian

f

zmiennej rzeczywistej

x

jest określony wzorem

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

, gdzie

a, b, c \in R

. Liczba

(- 2)

jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

styczna do wykresu wielomianu

f

w punkcie

A

o pierwszej współrzędnej równej

(- 2)

przecina ten wykres w punkcie

P = (1, 9)

.

Wyznacz wzór wielomianu

f

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Pochodne

4 pkt

Objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

dla

h \in (5, + \infty)

.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

dla

a \in (0, 43)

.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
b) Objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

dla

h \in (5, + \infty)

.
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 4}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 4

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

P = (x_{0}, 5)

należy do wykresu funkcji

f

. Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

P

, o pierwszej współrzędnej równej

2

, należy do wykresu funkcji

f

. Prosta o równaniu

y = a x + b

jest styczna do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

.

Oblicz współczynniki

a

oraz

b

w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Pochodne

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 9

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Prosta o równaniu

y = a x + b

jest styczna do wykresu funkcji

f

w punkcie

P = (- 2, - 9)

.
Współczynnik

a

w równaniu tej stycznej jest równy

Zadanie 13.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

3456

, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż

83

.

Pole

P

powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

dla

a \in (0, 83]

.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości

H

ostrosłupa oraz promienia

R

okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa

6

.

Objętość

V

ostrosłupa w zależności od długości

R

promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

dla

R \in (0, 6)

.

Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki