Zadanie 15.2, matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

4 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości

x

metrów nieprzekraczającej

10

metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy

4

metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Pole

P

trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

dla każdego

x \in (4, 10 ⟩

.

Wyznacz długość

x

podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

x = 43

P_{min} = 123

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wyznaczamy pochodną funkcji $P$ dla $x \in (4, 10 ⟩$ , korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu.
$P^{'} (x) = \frac{6 x ^{2} ( x ^{2} - 16 ) - 2 x ^{3} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 16 ) ^{2}} P^{'} (x) = \frac{6 x ^{4} - 96 x ^{2} - 4 x ^{4}}{( x ^{2} - 16 ) ^{2}} P^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} ( x ^{2} - 48 )}{( x ^{2} - 16 ) ^{2}}$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Podobne zadania z działu pochodne

Wszystkie zadania z działu