Zadanie 15.2, matura rozszerzona maj 2025 (F. 2015)

4 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
b) Objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

dla

h \in (5, + \infty)

.
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.

Poprawna odpowiedź

h = 53

V = \frac{125 3 π}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Szukamy argumentu, dla którego funkcja $V$ osiąga wartość najmniejszą w przedziale $(5, + \infty)$ . Obliczamy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu.
$V^{'} (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{75 h ^{2} \cdot ( h ^{2} - 25 ) - 25 h ^{3} \cdot 2 h}{( h ^{2} - 25 ) ^{2}} = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{2} ( h ^{2} - 75 )}{( h ^{2} - 25 ) ^{2}}$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu pochodne