Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 3x⁴ - 4x³ - 7 dla każdej liczby rzeczywistej x. Funkcja f ma dokładnie

jedno ekstremum lokalne – dla x = 0.

dwa ekstrema lokalne – dla x = 0 oraz dla x = 1.

Zadanie 2 - Matura rozszerzona 2026 (czerwiec, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 7

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Funkcja

f

ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

C. jedno ekstremum lokalne – dla

x = 1

Liczymy pochodną funkcji $f$ i rozkładamy ją na czynniki.
$f^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} = 12 x^{2} (x - 1)$
Miejsca zerowe pochodnej to $x = 0$ oraz $x = 1$ . Badamy znak $f^{'}$ w kolejnych przedziałach – czynnik $12 x^{2}$ jest zawsze nieujemny, więc o znaku $f^{'}$ decyduje czynnik $(x - 1)$ .
$x < 0 : f^{'} (x) < 0 0 < x < 1 : f^{'} (x) < 0 x > 1 : f^{'} (x) > 0$
W punkcie $x = 0$ pochodna nie zmienia znaku (jest ujemna po obu stronach), więc to nie jest ekstremum. W punkcie $x = 1$ znak zmienia się z ujemnego na dodatni, więc funkcja $f$ ma tam jedyne ekstremum lokalne – minimum.

Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015), zadanie 1Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = x² + 4. W układzie współrzędnych (x, y) styczna do wykresu…
Matura rozszerzona maj 2022, zadanie 2Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (x³-8)/(x-2) dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 2. Wartość pochodnej…
Matura rozszerzona lipiec 2020, zadanie 3Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (3x+1)/(x²+1) dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Pochodna f' tej…
Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 4Funkcja f jest określona wzorem f(x)=(x³-3x+2)/x dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W…
Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 3Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (2x+1)/(x-4) dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 4. W kartezjańskim…
Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 13.2Funkcja f jest określona wzorem f(x)=(12x-84)/(x-8) dla każdego x∈(-∞,8). W kartezjańskim układzie…