Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 6

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji

f

określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji

f

.

D.

f (x) = 2 π \cdot sin (\frac{x}{2})

1
Odczytujemy z wykresu amplitudę funkcji - najwyższa i najniższa wartość funkcji wynoszą odpowiednio $2 π$ i $- 2 π$ , więc amplituda wynosi $2 π$ . Odrzuca to od razu odpowiedzi A i C, w których amplituda wynosi $2$ .
2
Odczytujemy okres funkcji - odległość między kolejnymi maksimami (np. dla $x = π$ i $x = 5 π$ ) wynosi $4 π$ , więc okres $T = 4 π$ .

Zadanie 7 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie:

sin (x + \frac{1}{4} π) \cdot cos (x + \frac{1}{4} π) = \frac{2}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Trygonometria

4 pkt

Na przeciwprostokątnej

A B

trójkąta prostokątnego

A B C

zbudowano kwadrat

A B D E

(zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy

k

.

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa

\frac{1}{2 k}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

2 cos^{2} x - cos x = sin 2 x - sin x

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Trygonometria

4 pkt

Czworokąt

A B C D

jest wpisany w okrąg o promieniu

R = 52

. Przekątna

B D

tego czworokąta ma długość

10

. Kąty wewnętrzne

B A D

i

A D C

czworokąta

A B C D

są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy

\frac{3}{8}

. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Trygonometria

5 pkt

Rozwiąż równanie

cos 2 x = \frac{2}{2} (cos x - sin x)

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Trygonometria

1 pkt

Kąt o mierze

α

jest ostry i

tg α = 5

. Wtedy

Zadanie 16 Trygonometria

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{7}{25}

. Wynika stąd, że

Zadanie 16 Trygonometria

1 pkt

Dla każdego kąta ostrego

α

iloczyn

\frac{cos α}{1 - sin ^{2} α} \cdot \frac{1 - cos ^{2} α}{sin α}

jest równy

Zadanie 18 Trygonometria

1 pkt

Przyprostokątna

A C

trójkąta prostokątnego

A B C

ma długość

8

oraz

tg α = \frac{2}{5}

(zobacz rysunek).

Pole tego trójkąta jest równe

Zadanie 19 Trygonometria

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{4}{5}

. Wtedy

Zadanie 20 Trygonometria

1 pkt

Dane są punkty

M = (6, 0)

,

N = (6, 8)

oraz

O = (0, 0)

. Tangens kąta ostrego

M O N

jest równy

Zadanie 23 Trygonometria

1 pkt

W trapezie równoramiennym

A B C D

podstawy

A B

i

C D

mają długości równe odpowiednio

a

i

b

(przy czym

a > b

). Miara kąta ostrego trapezu jest równa

3 0^{\circ}

. Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

Zadanie 32 Trygonometria

2 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α + cos α = \frac{7}{5}

. Oblicz wartość wyrażenia

2 sin α cos α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

3 cos 2 x + 10 cos^{2} x = 24 sin x - 3

dla

x \in ⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki