Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 139

1 pkt

Przyprostokątna

L M

trójkąta prostokątnego

K L M

ma długość

3

, a przeciwprostokątna

K L

ma długość

8

(zobacz rysunek).

Wtedy miara

α

kąta ostrego

L K M

tego trójkąta spełnia warunek

C.

21° < α \leq 24°

1
Przyprostokątna $L M$ leży naprzeciw kąta $α$ , a $K L$ jest przeciwprostokątną. Z definicji sinusa:
$sin α = \frac{L M}{K L} = \frac{3}{8} = 0, 375$

Zadanie 14 Trygonometria

1 pkt

Przyprostokątna

L M

trójkąta prostokątnego

K L M

ma długość

3

, a przeciwprostokątna

K L

ma długość

8

(zobacz rysunek).

Wówczas miara

α

kąta ostrego

L M K

tego trójkąta spełnia warunek

Zadanie 14 Geometria przestrzenna

1 pkt

Cztery jednakowe drewniane elementy, każdy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach

2

cm

\times

2

cm

\times

9

cm, przyklejono do metalowej płytki w sposób pokazany na rysunku I.

W ten sposób przygotowano formę, którą wypełniono masą gipsową, i tak otrzymano gipsowy odlew w kształcie prostopadłościanu, pokazany na rysunku II.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Objętość drewna, z którego zbudowano formę, jest równa .........

Objętość gipsowego odlewu jest równa .........

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 14 Ciągi

1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 16 - \frac{1}{2} \cdot n

dla każdej liczby całkowitej

n \geq 1

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

Zadanie 14 Funkcja kwadratowa

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + (m + 1) (2 m - 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania

x_{1}

,

x_{2}

spełniające warunki:

x_{1} \cdot x_{2} \neq = 0

oraz

0 < \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} \leq \frac{2}{3}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Na rysunkach przedstawiono ostrosłup prawidłowy i graniastosłup prawidłowy. Wszystkie krawędzie obu brył są jednakowej długości.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest większa niż suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa.
Całkowite pole powierzchni ostrosłupa jest większe niż całkowite pole powierzchni graniastosłupa.

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt o bokach długości:

25

,

35

,

45

. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

Zadanie 15 Trygonometria

1 pkt

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość

3

, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta

α

jest równa

3

. Zatem

Zadanie 15 Trygonometria

1 pkt

Liczba

1 - tg 40°

jest

Zadanie 15.1 Planimetria

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
a) Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Pochodne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

a) Wyznacz objętość

V

drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej

x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Pochodne

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji

V

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Dowody geometryczne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
b) Wykaż, że obwód

L

takiego trapezu, jako funkcja długości

a

dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem

L (a) = \frac{4 a ^{2} - 8 a + 8}{a}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

c) Oblicz tę wartość

x

, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja

V

osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki