Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 11

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{5 - 2 n}{6}

dla

n \geq 1

. Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa

r = - \frac{1}{3}

.

1
Sprawdzamy, czy różnica kolejnych wyrazów jest stała. Wyraz $a_{n + 1}$ dostajemy, podstawiając do wzoru $n + 1$ w miejsce $n$ .
$a_{n + 1} = \frac{5 - 2 ( n + 1 )}{6} = \frac{3 - 2 n}{6}$

Zadanie 11 Ciągi

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg okręgów

(o_{n})

o równaniach

x^{2} + y^{2} = 2^{11 - n}

,

n \geq 1

. Niech

P_{k}

będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem

o_{2 k - 1}

i wewnętrznym okręgiem

o_{2 k}

. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni

P_{k}

, gdzie

k \geq 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Ciągi

1 pkt

Dla ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest spełniony warunek

a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12

. Wtedy

Zadanie 13 Ciągi

1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

określonego dla

n \geq 1

są dodatnie i

3 a_{2} = 2 a_{3}

. Stąd wynika, że iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zadanie 13 Ciągi

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

, spełnia warunek

a_{3} + a_{4} + a_{5} = 15

. Wtedy

Zadanie 13 Ciągi

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

, w którym

a_{1} = 2

,

a_{2} = 22

,

a_{3} = 42

. Wzór na

n

-ty wyraz tego ciągu ma postać

Zadanie 13 Ciągi

4 pkt

Wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, spełniają układ równań

{a_{3} + a_{6} = - 84 a_{4} + a_{7} = 168

Wyznacz liczbę

n

początkowych wyrazów tego ciągu, których suma

S_{n}

jest równa

32769

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Ciągi

1 pkt

Dla pewnej liczby

x

ciąg

(x, x + 4, 16)

jest geometryczny. Liczba

x

jest równa

Zadanie 14 Ciągi

1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 16 - \frac{1}{2} \cdot n

dla każdej liczby całkowitej

n \geq 1

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

Zadanie 30 Ciągi

2 pkt

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

34

, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa

110

. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Ciągi

2 pkt

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

30

, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa

162

. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Ciągi

4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla liczb naturalnych

n \geq 1

, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S_{10} = \frac{15}{4}

. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Ciągi

1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{1}{4}

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 10 Ciągi

5 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny, a ciąg

(b_{n})

jest geometryczny. Pierwszy wyraz

a_{1}

ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego

(b_{n})

. Wyrazy ciągu

(a_{n})

są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

124

. Natomiast pierwszy wyraz

b_{1}

ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego

(a_{n})

. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

(b_{n})

jest równa

18

. Wyznacz te ciągi.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Ciągi

6 pkt

Liczby

a

,

b

,

c

są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa

27

. Ciąg

(a - 2, b, 2 c + 1)

jest geometryczny.
Wyznacz liczby

a

,

b

,

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki