Zbiór zadań z matematyki

Zadanie 136PlanimetriaMatura podstawowa grudzień 2022

1 pkt

Dany jest trapez

A B C D

, w którym

A B ∥ C D

oraz przekątne

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

O

(zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa

12

. Obwód trójkąta

A B O

jest równy

39

, a obwód trójkąta

C D O

jest równy

13

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość trójkąta

A B O

poprowadzona z punktu

O

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

9

Ponieważ $A B ∥ C D$ , trójkąty $A B O$ i $C D O$ są podobne (kąty naprzemianległe przy przekątnych, cecha kkk).
Skala podobieństwa jest równa stosunkowi obwodów tych trójkątów:
$k = \frac{O b w _{A B O}}{O b w _{C D O}} = \frac{39}{13} = 3$

Zadanie 137PlanimetriaMatura podstawowa maj 2022

2 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Dwusieczna kąta

B A C

przecina bok

B C

w takim punkcie

D

, że trójkąty

A B C

i

B D A

są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta

B A C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 138PlanimetriaMatura podstawowa sierpień 2022

2 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny

A B C

o boku długości

24

. Punkt

E

leży na boku

A B

, a punkt

F

– na boku

B C

tego trójkąta. Odcinek

E F

jest równoległy do boku

A C

i przechodzi przez środek

S

wysokości

C D

trójkąta

A B C

(zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka

E F

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 139PlanimetriaMatura rozszerzona czerwiec 2021

3 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

. Na boku

A B

tego trójkąta obrano punkty

D

,

E

i

F

tak, że

∣ A D ∣ = ∣ D E ∣ = ∣ E F ∣ = 2∣ F B ∣

. Na bokach

A C

i

B C

obrano – odpowiednio – punkty

G

i

H

tak, że

D G ∥ E C

oraz

F H ∥ E C

(zobacz rysunek).Wykaż, że jeżeli pole trójkąta

F B H

jest równe

S

, to pole trójkąta

A D G

jest równe

3 S

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 140PlanimetriaMatura rozszerzona maj 2021

3 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny

A B C

. Na bokach

A B

i

A C

wybrano punkty – odpowiednio –

D

i

E

takie, że

∣ B D ∣ = ∣ A E ∣ = \frac{1}{3} ∣ A B ∣

. Odcinki

C D

i

B E

przecinają się w punkcie

P

(zobacz rysunek).Wykaż, że pole trójkąta

D B P

jest

21

razy mniejsze od pola trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 141PlanimetriaMatura rozszerzona maj 2021

4 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta

A B C

, który ma większą miarę.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{4}{5}

Zadanie 142PlanimetriaMatura rozszerzona czerwiec 2021

5 pkt

Na okręgu jest opisany czworokąt

A B C D

. Bok

A D

tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku

A B

, a przekątna

B D

ma długość równą

6

. Ponadto spełnione są następujące warunki:

cos (∠ A D B) = \frac{7}{8}, ∣∠ B C D ∣ = 90°

oraz

∣ A B ∣ > 15

.

Oblicz długość boku

B C

tego czworokąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 143PlanimetriaMatura podstawowa maj 2021

1 pkt

Prosta

k

jest styczna w punkcie

A

do okręgu o środku

O

. Punkt

B

leży na tym okręgu i miara kąta

A O B

jest równa

80°

. Przez punkty

O

i

B

poprowadzono prostą, która przecina prostą

k

w punkcie

C

(zobacz rysunek).

Miara kąta

B A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

Zadanie 144PlanimetriaMatura podstawowa sierpień 2021

1 pkt

Czworokąt

A B C D

jest wpisany w okrąg o środku

S

. Bok

A D

jest średnicą tego okręgu, a miara kąta

B D C

jest równa

20°

(zobacz rysunek).

Wtedy miara kąta

B S C

jest równa

Poprawna odpowiedź

Zadanie 145PlanimetriaMatura podstawowa sierpień 2021

1 pkt

Okrąg o środku w punkcie

O

jest wpisany w trójkąt

A B C

. Wiadomo, że

∣ A B ∣ = ∣ A C ∣

i

∣ ∢ B O C ∣ = 100°

(zobacz rysunek).

Miara kąta

B A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

Zadanie 146PlanimetriaMatura podstawowa maj 2021

1 pkt

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe

\frac{4 3}{9}

. Obwód tego trójkąta jest równy

Poprawna odpowiedź

Zadanie 147PlanimetriaMatura podstawowa sierpień 2021

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

i

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Cięciwy

D B

i

A C

przecinają się w punkcie

E

,

∣ ∢ A C B ∣ = 55°

oraz

∣ ∢ A E B ∣ = 140°

(zobacz rysunek).

Miara kąta

D A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

Zadanie 148PlanimetriaMatura podstawowa sierpień 2021

1 pkt

Przekątna

A C

prostokąta

A B C D

ma długość

70

. Na boku

A B

obrano punkt

E

, na przekątnej

A C

obrano punkt

F

, a na boku

A D

obrano punkt

G

- tak, że czworokąt

A E F G

jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto

∣ E F ∣ = 30

i

∣ GF ∣ = 40

.

Obwód prostokąta

A B C D

jest równy

Poprawna odpowiedź

Zadanie 149PlanimetriaMatura podstawowa maj 2021

1 pkt

W trójkącie

A B C

bok

B C

ma długość

13

, a wysokość

C D

tego trójkąta dzieli bok

A B

na odcinki o długościach

∣ A D ∣ = 3

i

∣ B D ∣ = 12

(zobacz rysunek obok). Długość boku

A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

Zadanie 150PlanimetriaMatura podstawowa maj 2021

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

i

D

leżą na okręgu o środku

S

. Miary kątów

S B C

,

B C D

,

C D A

są równe odpowiednio:

∣∠ S B C ∣ = 60°

,

∣∠ B C D ∣ = 110°

,

∣∠ C D A ∣ = 90°

(zobacz rysunek).

Wynika stąd, że miara

α

kąta

D A S

jest równa

Poprawna odpowiedź