Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu… - Matura podstawowa grudzień 2022, zadanie 25.1, rozwiązanie

Zadanie 25.1 - Matura podstawowa 2022 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest sześciokąt foremny

A B C D E F

o polu równym

63

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta

A B E

jest równe

Poprawna odpowiedź

23

Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wyraża się wzorem $P = \frac{3 3}{2} a^{2}$ . Wyznaczamy długość boku:
$\frac{3 3}{2} a^{2} = 63 a^{2} = 4 a = 2$
Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę $120°$ . W trójkącie $A F E$ mamy $∣ A F ∣ = ∣ F E ∣ = a$ oraz $∠ A F E = 120°$ , więc z twierdzenia cosinusów obliczamy $∣ A E ∣$ :
$A E^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} cos 12 0^{\circ} A E^{2} = 2 a^{2} - 2 a^{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = 3 a^{2} A E = a 3$
Trójkąt $A F E$ jest równoramienny ( $∣ A F ∣ = ∣ F E ∣$ ), więc kąty przy podstawie są równe: $∠ F A E = ∠ F E A = \frac{18 0 ^{\circ} - 12 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}$ . Kąt wewnętrzny sześciokąta przy wierzchołku $A$ wynosi $120°$ , więc kąt między $A E$ i $A B$ jest równy $∠ E A B = 12 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ - odcinek $A E$ jest prostopadły do boku $A B$ .
Trójkąt $A B E$ jest zatem prostokątny, z przyprostokątnymi $A B = a = 2$ i $A E = a 3 = 23$ . Jego pole jest równe:
$P_{A B E} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 23 = 23$

Zadanie 25.1 - Matura podstawowa 2022 (grudzień) - Rozwiązanie