Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki

3 pkt

Punkty

K

i

L

są środkami – odpowiednio – boków

A B

i

B C

kwadratu

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

M

jest takim punktem na boku

B C

, że odcinki

D K

i

K M

są prostopadłe.

Odcinek

A L

przecina odcinki

D K

oraz

D M

w punktach – odpowiednio –

P

oraz

Q

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

∣ P Q ∣ = \frac{5}{5} a

.

∣ P Q ∣ = \frac{4}{5} ∣ K M ∣ = \frac{5}{5} a

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczamy $∣∠ A D K ∣ = α$ . Trójkąt $D A K$ jest prostokątny, bo kąt przy $A$ jest kątem kwadratu, więc jego kąty ostre sumują się do $9 0^{\circ}$ .

Zadanie 5 Planimetria

3 pkt

Odcinek

C D

jest wysokością trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Prosta

p

jest prostopadła do boku

B C

i przecina ten bok w punkcie

L

. Ta prosta przecina wysokość

C D

w punkcie

K

oraz przecina bok

A C

w punkcie różnym od

A

.

Wykaż, że

∣∠ C A K ∣ = ∣∠ K D L ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Planimetria

4 pkt

Pole czworokąta

A B C D

wpisanego w okrąg jest równe

18

. Boki

A B

i

B C

są prostopadłe, a ponadto

∣ A B ∣ = 4

oraz

∣ B C ∣ = 7

.

Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Planimetria

6 pkt

W czworokącie

A B C D

są dane:

∣ A B ∣ = 9

,

∣ A D ∣ = 10

oraz

∣∠ B A D ∣ = 60°

.
W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Oblicz długości boków

B C

i

C D

oraz pole czworokąta

A B C D

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.1 Planimetria

3 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości

x

metrów nieprzekraczającej

10

metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy

4

metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Wykaż, że pole

P

(wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Planimetria

3 pkt

W trójkącie równobocznym

A B C

punkt

D

leży na boku

B C

. Stosunek pola trójkąta

A B D

do pola trójkąta

A D C

jest równy

\frac{3 - 1}{2}

.

Oblicz miarę kąta

D A C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Planimetria

2 pkt

Sąsiednie boki równoległoboku mają długość

6

i

9

. Pole tego równoległoboku jest równe

18

. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Planimetria

4 pkt

W trapezie

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

punkt

E

jest środkiem ramienia

A D

, a punkt

F

jest środkiem ramienia

B C

trapezu. Stosunek pola trapezu

E F C D

do pola trapezu

A B F E

jest równy

\frac{1}{2}

.

Wykaż, że

\frac{∣ C D ∣}{∣ A B ∣} = \frac{1}{5}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Planimetria

4 pkt

Na czworokącie wypukłym

A B C D

o bokach długości:

∣ A B ∣ = 3

,

∣ B C ∣ = 3

,

∣ C D ∣ = 5

oraz

∣ D A ∣ = 8

, opisano okrąg.

Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Planimetria

2 pkt

Okrąg

O

jest styczny do boków

A C

i

B C

trójkąta

A B C

oraz przecina bok

A B

tego trójkąta w punktach

M

oraz

N

,
przy czym

0 < ∣ A M ∣ < ∣ A N ∣ < ∣ A B ∣

.

Wykaż, że jeśli

∣ A M ∣ = ∣ B N ∣

, to trójkąt

A B C

jest równoramienny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Planimetria

3 pkt

Dany jest czworokąt wypukły

A B C D

. Przekątne

A C

oraz

B D

tego czworokąta przecinają się w punkcie

S

.
Wykaż, że jeżeli

\frac{∣ A S ∣}{∣ D S ∣} = \frac{∣ B S ∣}{∣ C S ∣}

, to na czworokącie

A B C D

można opisać okrąg.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Planimetria

4 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta

A B C

jest dwa razy większa od miary kąta

B A C

.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Planimetria

4 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

E

jest środkiem boku

C D

. Przekątna

B D

dzieli trójkąt

A C E

na dwie figury:

A GF

oraz

C E F G

(zobacz rysunek).

Oblicz pola figur

A GF

oraz

C E F G

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Planimetria

4 pkt

Promień okręgu opisanego na trójkącie

A B C

jest równy

17

. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok

A C

, a długości dwóch pozostałych boków są równe

∣ A B ∣ = 30

oraz

∣ B C ∣ = 17

. Oblicz miarę kąta

B A C

oraz długość boku

A C

tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Planimetria

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość

10

. Niech

x

oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

a) Wykaż, że pole

P

trapezu jako funkcja długości

x

odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem

P (x) = x \cdot 100 - x^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki