Zadanie 12.1, matura rozszerzona maj 2026

3 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości

x

metrów nieprzekraczającej

10

metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy

4

metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Wykaż, że pole

P

(wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

Dowód – patrz rozwiązanie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Kwietnik to trójkąt równoramienny $A B C$ o podstawie $A B$ , a fontanna to okrąg wpisany w ten trójkąt. Wprowadzamy oznaczenia:
- $x = ∣ A B ∣$ - długość podstawy
- $h = ∣ C D ∣$ - wysokość opuszczona na podstawę
- $b = ∣ A C ∣$ - długość ramienia
- $S$ - środek okręgu, jego promień to $r = 2$ , bo średnica fontanny wynosi $4$
- $E$ - punkt styczności okręgu z ramieniem $A C$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Podobne zadania z działu planimetria

Wszystkie zadania z działu