Zadanie 9, matura rozszerzona maj 2024

4 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

E

jest środkiem boku

C D

. Przekątna

B D

dzieli trójkąt

A C E

na dwie figury:

A GF

oraz

C E F G

(zobacz rysunek).

Oblicz pola figur

A GF

oraz

C E F G

. Zapisz obliczenia.

P_{A GF} = \frac{1}{12} a^{2}

P_{C E F G} = \frac{1}{6} a^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Punkt $F$ to punkt przecięcia odcinków $A E$ i $D G$ . Odcinek $A E$ łączy wierzchołek $A$ ze środkiem $E$ boku $C D$ , a odcinek $D G$ łączy wierzchołek $D$ ze środkiem $G$ przekątnej $A C$ (bo $G$ , jako środek kwadratu, jest środkiem obu przekątnych). Oba odcinki są więc środkowymi trójkąta $A C D$ , a ich punkt przecięcia $F$ jest środkiem ciężkości tego trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka, więc:
$∣ D F ∣ : ∣ F G ∣ = 2 : 1 ∣ F G ∣ = \frac{1}{3} ∣ D G ∣$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu planimetria