Zadanie 8, matura rozszerzona maj 2024

4 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta

A B C

jest dwa razy większa od miary kąta

B A C

.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣

∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣

— wykazane przez podobieństwo trójkątów

D B C

B A C

, gdzie

D

to punkt przecięcia dwusiecznej kąta

A B C

z bokiem

A C

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczmy miarę kąta $B A C$ jako $α$ — wtedy miara kąta $A B C$ jest równa $2 α$ . Przyjmujemy standardowe oznaczenia boków: $a = ∣ B C ∣$ , $b = ∣ A C ∣$ , $c = ∣ A B ∣$ . Poprowadźmy dwusieczną kąta $A B C$ ; niech przecina ona bok $A C$ w punkcie $D$ . Ponieważ dwusieczna dzieli kąt $2 α$ na połowy, mamy:
$∣∠ A B D ∣ = ∣∠ D B C ∣ = α$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu planimetria