Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Ponieważ $k\parallel l$, trójkąty $ABC$ i $ADE$ są podobne (mają wspólny kąt przy wierzchołku $A$ oraz równe kąty odpowiadające przy przecięciu prostymi równoległymi).
2. Obliczamy długość odcinka $AD$:
   $$|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8$$
3. Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne:
   $$\frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|BC|}{|DE|}$$
4. Podstawiamy dane i wyznaczamy $|DE|$:
   $$\frac{6}{8}=\frac{4}{|DE|}⟹|DE|=\frac{4\cdot 8}{6}=\frac{16}{3}$$

1. Kąt wpisany $CDA$ jest oparty na łuku $AC$ nieprzechodzącym przez $D$, więc odpowiadający mu kąt środkowy $AOC$ (oparty na tym samym łuku) jest dwa razy większy:
   $$\angle AOC=2\cdot 50°=100°$$
2. Kąt $AOC$ składa się z kątów $AOB$ i $BOC$:
   $$\angle AOB+\angle BOC=100°$$
3. Podstawiamy $\angle BOC=30°$:
   $$\angle AOB=100°-30°=70°$$

1. Środek okręgu wpisanego w trójkąt (incentrum) jest punktem równo oddalonym od wszystkich boków trójkąta, a takim punktem jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

1. Ponieważ $BD$ jest średnicą okręgu, kąt wpisany $BAD$ oparty na tej średnicy jest kątem prostym. Dorysowujemy cięciwę $AB$ (linia przerywana) i zaznaczamy kąt prosty $BAD$:
   
   
   $$\angle BAD=90°$$
2. Kąt środkowy $COB$ ma miarę $90°$ i jest oparty na tym samym łuku $BC$ co kąt wpisany $BAC$, więc kąt wpisany jest o połowę mniejszy:
   
   
3. Kąt $DAC$ to różnica kątów $BAD$ i $BAC$:
   
   
4. W trójkącie $AKD$ suma miar kątów wynosi $180°$:
   $$\angle ADK=180°-\angle AKD-\angle DAK=180°-78°-45°=57°$$
5. Kąt $ADK$ to ten sam kąt co szukany kąt ostry $BDA$ (punkt $K$ leży na odcinku $BD$), więc:
   $$\angle BDA=57°$$

1. Ponieważ $k\parallel l$, kąty naprzemianległe przy przecięciu prostymi $m$ i $n$ są równe, więc trójkąty $OAD$ i $OCB$ są podobne (cecha kąt-kąt).
2. Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne:
   $$\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}$$
3. Podstawiamy dane:
   $$\frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}⟹|OD|=\frac{12\cdot 6}{8}=9$$

1. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty liczymy jako iloraz różnicy współrzędnych $y$ i różnicy współrzędnych $x$.
   $$\begin{array}{rl}& a=\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}\\ & 3=\frac{y_B+4}{3}\end{array}$$
2. Rozwiązujemy równanie względem $y_B$.
   $$\begin{array}{rl}& 9=y_B+4\\ & y_B=5\end{array}$$

1. Punkty $A$ i $D$ leżą na prostej $k$, a punkty $C$ i $B$ na prostej $l$, przy czym $k\parallel l$. Trójkąty $AOD$ i $COB$ mają równe kąty przy wierzchołku $O$ (kąty wierzchołkowe) oraz równe kąty przy pozostałych wierzchołkach (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych $k$ i $l$), więc są podobne.
2. Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne.
   $$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$$
3. Podstawiamy dane długości i wyznaczamy $|OD|$.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{12}{8}=\frac{OD}{6}\\ & OD=\frac{12\cdot 6}{8}=9\end{array}$$

1. Korzystamy z tożsamości ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
   $${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$
2. Ponieważ $\alpha$ jest rozwarty (kąt z przedziału $(90°,180°)$), $\cos \alpha <0$:
   $$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ ma postać $y=-\frac{1}{3}x+b$, gdzie $b$ trzeba wyznaczyć.
   $$y=-\frac{1}{3}x+b$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(2,-2)$, przez który przechodzi prosta $l$, i wyznaczamy $b$.
   $$\begin{array}{rl}& -2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b\\ & -2=-\frac{2}{3}+b\\ & b=-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\end{array}$$
3. Punkt przecięcia prostej z osią $Oy$ ma pierwszą współrzędną równą $0$, a jego druga współrzędna to właśnie wyraz wolny $b$.
   $$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$$

1. Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem $6a^2$. Obliczamy długość krawędzi.
   $$\begin{array}{rl}& 6a^2=12\\ & a^2=2\\ & a=\sqrt{2}\end{array}$$
2. Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$. Podstawiamy $a=\sqrt{2}$.