Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Ponieważ $\sqrt{5}\approx 2,24$, to $\sqrt{5}-3<0$, więc $\left|\sqrt{5}-3\right|=3-\sqrt{5}$.
2. Z kolei $\sqrt{5}-1>0$, więc $\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}-1$.
3. Dodajemy oba wyrażenia:
   $$(3-\sqrt{5})+(\sqrt{5}-1)=2$$

1. Upraszczamy $\sqrt{32}$:
   $$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$$
2. Podstawiamy, odejmujemy pierwiastki i obliczamy kwadrat:
   $${\left(4\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)}^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2=9\cdot 2=18$$

1. Rozwiązujemy równanie $|x-6|=4$:
   $$x-6=4⟹x_1=10\text{lub}x-6=-4⟹x_2=2$$
2. Obliczamy iloczyn:
   $$x_1\cdot x_2=10\cdot 2=20$$

1. Zapisujemy $256=2^8$ oraz upraszczamy pierwiastek:
   $$\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3{)}^2}=\sqrt[3]{2^6}=2^{6/3}=2^2$$
2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie:
   $$2^8\cdot 2^2=2^{10}$$

1. Zapisujemy $25$ i $125$ jako potęgi liczby $5$:
   $$25^{-2}=(5^2{)}^{-2}=5^{-4},125^{-4}=(5^3{)}^{-4}=5^{-12}$$
2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):
   $$\frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4-(-12)}=5^8$$

1. Wyłączamy $5^{12}$ przed nawias w liczniku:
   $$\frac{5^{12}(1+5+5^2)}{5^{12}}$$
2. Skracamy i obliczamy:
   $$1+5+25=31$$

1. Stwierdzenie 1: Stosujemy wzór na logarytm potęgi $n\cdot {\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$:
   $$2\cdot {\log }_{3}5={\log }_3{5}^2={\log }_{3}25\text{(PRAWDA)}$$
2. Stwierdzenie 2: Sprawdzamy. Mamy $2={\log }_{3}9$, więc:
   $$2+{\log }_{3}5={\log }_{3}9+{\log }_{3}5={\log }_{3}45\ne {\log }_{3}10\text{(FAŁSZ)}$$

1. Stosujemy wzór na logarytm potęgi: $2{\log }_{3}2={\log }_3{2}^2={\log }_{3}4$:
   $${\log }_{3}108-{\log }_{3}4$$
2. Stosujemy wzór na logarytm ilorazu i obliczamy:
   $${\log }_{3}108-{\log }_{3}4={\log }_3\frac{108}{4}={\log }_{3}27=3$$

1. Wyłączamy sześciany z liczb pod pierwiastkiem:
   $$\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot 3}=4\sqrt[3]{3}$$
2. Dodajemy wyrazy podobne:
   $$2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:
   $${\log }_{3}2-{\log }_{3}18={\log }_3\frac{2}{18}={\log }_3\frac{1}{9}$$
2. Zapisujemy $\frac{1}{9}$ jako potęgę liczby $3$ i obliczamy logarytm:
   $${\log }_3\frac{1}{9}={\log }_3{3}^{-2}=-2$$

1. Rozwijamy kwadrat sumy:
   $${\left(\sqrt{3}+1\right)}^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$$
2. Upraszczamy $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ i odejmujemy:

1. Liczymy pierwszy nawias:
   $$(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4$$
2. Liczymy drugi nawias:
   $$(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$$
3. Odejmujemy wyrażenia:
   $$(9x^2+12x+4)-(4x^2-12x+9)=5x^2+24x-5$$