Zadanie 16.2, matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)

4 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

.

Pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

dla

a < 0

.

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną

A B

tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.

y = - 2 x + 4

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Szukamy argumentu $a < 0$ , dla którego funkcja $P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}$ osiąga wartość najmniejszą. Wyznaczamy pochodną, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu, i upraszczamy licznik:
$P^{'} (a) = \frac{( - 2 a + 4 ) \cdot 2 a - ( - a ^{2} + 4 a - 4 ) \cdot 2}{( 2 a ) ^{2}} P^{'} (a) = \frac{( - 4 a ^{2} + 8 a ) - ( - 2 a ^{2} + 8 a - 8 )}{( 2 a ) ^{2}} P^{'} (a) = \frac{- 2 a ^{2} + 8}{( 2 a ) ^{2}}$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu pochodne