Zbiór zadań

Znaleziono 91 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, a kąt między jego ramionami (przy wierzchołku $C$) jest równy $80°$. Oba kąty przy podstawie $AB$ są więc równe:
   $$\angle CAB=\angle CBA=\frac{180°-80°}{2}=50°$$
2. Trójkąt $ABD$ jest równoramienny, a kąt między jego ramionami (przy wierzchołku $B$) jest równy $40°$. Oba kąty przy podstawie $AD$ są więc równe:
   $$\angle DAB=\angle ADB=\frac{180°-40°}{2}=70°$$
3. Odcinek $AC$ leży wewnątrz kąta $DAB$, więc kąt $DAC$ to różnica kątów $DAB$ i $CAB$:
   $$\angle DAC=\angle DAB-\angle CAB=70°-50°=20°$$
4. W trójkącie $ASB$ kąt przy wierzchołku $A$ to $\angle CAB=50°$ (bo $S$ leży na odcinku $AC$), a kąt przy wierzchołku $B$ to $\angle DBA=40°$ (bo $S$ leży na odcinku $BD$). Z sumy kątów w trójkącie obliczamy kąt $ASB$:
5. Kąt $90°$ jest kątem prostym, więc kąt $ASB$ jest prosty, a miara kąta $DAC$ jest równa $20°$.

1. Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ dana jest wzorem $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Podstawiamy $a=2$:
   $$h=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$
2. Zgadza się to z pierwszym zdaniem, więc jest ono prawdziwe (P).
3. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ dane jest wzorem $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $a=2$:
4. Zgadza się to z drugim zdaniem, więc jest ono prawdziwe (P).

1. Obwód prostokąta $ABCD$:
   $$2(4+9)=26$$
2. W skali $2:1$ każdy bok prostokąta $EFGH$ jest dwa razy dłuższy, więc jego wymiary to $8$ cm i $18$ cm, a jego obwód:
   $$2(8+18)=52=2\cdot 26$$
3. Obwód $EFGH$ jest rzeczywiście dwukrotnie większy od obwodu $ABCD$ — pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Pole prostokąta $EFGH$:
   $$8\cdot 18=144$$
5. Drugie zdanie również jest prawdziwe (P), więc odpowiedzią jest PP.

1. Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi $360°$, więc:
   $$\alpha +\beta +\gamma +\delta =360°$$
2. Podstawiamy zależności $\beta =\alpha +70°$, $\gamma =2\alpha$ oraz $\delta =90°$ i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& \alpha +(\alpha +70°)+2\alpha +90°=360°\\ & 4\alpha +160°=360°\\ & \alpha =50°\end{array}$$
3. Obliczamy miarę kąta $\beta$:
   $$\beta =\alpha +70°=50°+70°=120°$$

1. Wprowadzamy układ współrzędnych, w którym schronisko $S$ leży w punkcie $(0,0)$. Wieża widokowa jest $4$ km na zachód i $3$ km na północ od $S$, więc $W=(-4,3)$. Muzeum jest $5$ km na wschód od $S$, więc $M=(5,0)$.
2. Odległość schroniska od muzeum (leżą na tej samej równoleżnikowej linii):
   $$|SM|=5$$
3. Odległość schroniska od wieży widokowej liczymy z twierdzenia Pitagorasa:
   $$|SW|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$
4. Obie odległości są równe $5$ km, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
5. Odległość muzeum od wieży widokowej liczymy z różnic współrzędnych:
   $$|MW|=\sqrt{(5-(-4){)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}\approx 9,49$$
6. To mniej niż $10$ km, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Ponieważ przekątna $BD$ jest prostopadła do boku $AD$, trójkąt $ABD$ jest prostokątny, z przyprostokątnymi $AD=6$ i $BD=8$. Bok $AB$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta – obliczamy jego długość z twierdzenia Pitagorasa:
   $$AB=\sqrt{A{D}^2+B{D}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$
2. W równoległoboku boki przeciwległe mają równe długości, więc $BC=AD=6$ oraz $CD=AB=10$. Obliczamy obwód:
   $$Obw=2\cdot (AD+AB)=2\cdot (6+10)=32$$

1. 
   Po usunięciu $AF$ i $AB$ znika lewy trójkąt, a zostaje tylko jedna (pozioma) oś symetrii – zdanie prawdziwe (P).
2. 
   Po usunięciu samego $FE$ obie strony wciąż są swoimi lustrzanymi odbiciami – pionowa oś symetrii zostaje, więc zdanie jest fałszywe (F).

1. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta $ADE$, w którym podstawą jest odcinek $AD$, a wysokością odcinek poprowadzony z $E$:
   $$28=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot 7$$
2. Wyznaczamy długość $AD$:
   $$AD=\frac{2\cdot 28}{7}=8$$
3. Odcinek $AD$ jest jednocześnie bokiem kwadratu $ABCD$, więc pole kwadratu jest równe:
   $$A{D}^2=8^2=64$$

1. Odcinek $BD$ jest średnicą okręgu, więc z twierdzenia Talesa kąt wpisany $BAD$, oparty na tej średnicy, jest kątem prostym:
   $$|\angle BAD|=90°$$
2. W trójkącie $ABD$ znamy już dwa kąty, więc trzeci obliczamy z sumy kątów w trójkącie:
   $$|\angle ADB|=180°-90°-18°=72°$$
3. Kąty wpisane $ADB$ i $ACB$ są oparte na tym samym łuku $AB$ (niezawierającym punktów $C$ ani $D$), więc mają równą miarę:
   $$|\angle BCA|=|\angle ADB|=72°$$