Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki

3 pkt

Punkty

K

i

L

są środkami – odpowiednio – boków

A B

i

B C

kwadratu

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

M

jest takim punktem na boku

B C

, że odcinki

D K

i

K M

są prostopadłe.

Odcinek

A L

przecina odcinki

D K

oraz

D M

w punktach – odpowiednio –

P

oraz

Q

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

∣ P Q ∣ = \frac{5}{5} a

.

∣ P Q ∣ = \frac{4}{5} ∣ K M ∣ = \frac{5}{5} a

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczamy $∣∠ A D K ∣ = α$ . Trójkąt $D A K$ jest prostokątny, bo kąt przy $A$ jest kątem kwadratu, więc jego kąty ostre sumują się do $9 0^{\circ}$ .

Zadanie 5 Planimetria

3 pkt

Odcinek

C D

jest wysokością trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Prosta

p

jest prostopadła do boku

B C

i przecina ten bok w punkcie

L

. Ta prosta przecina wysokość

C D

w punkcie

K

oraz przecina bok

A C

w punkcie różnym od

A

.

Wykaż, że

∣∠ C A K ∣ = ∣∠ K D L ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Planimetria

1 pkt

Trójkąty

A B C

i

A B D

są równoramienne. Miara kąta między ramionami trójkąta

A B C

jest równa

80°

, a miara kąta między ramionami trójkąta

A B D

jest równa

40°

. Punkt

S

jest punktem przecięcia odcinków

A C

i

B D

(zobacz rysunek).

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Kąt

A S B

jest A/B.

Miara kąta

D A C

jest równa C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 9 Planimetria

4 pkt

Pole czworokąta

A B C D

wpisanego w okrąg jest równe

18

. Boki

A B

i

B C

są prostopadłe, a ponadto

∣ A B ∣ = 4

oraz

∣ B C ∣ = 7

.

Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości

2

cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wysokość tego trójkąta jest równa $3$ cm.
Pole tego trójkąta jest równe $3$ cm $^{2}$ .

Zadanie 11 Planimetria

6 pkt

W czworokącie

A B C D

są dane:

∣ A B ∣ = 9

,

∣ A D ∣ = 10

oraz

∣∠ B A D ∣ = 60°

.
W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Oblicz długości boków

B C

i

C D

oraz pole czworokąta

A B C D

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Planimetria

1 pkt

Kąty wewnętrzne czworokąta oznaczono:

α

,

β

,

γ

oraz

δ

. Miara kąta

β

jest o

70°

większa od miary kąta

α

, miara kąta

γ

jest dwukrotnie większa od miary kąta

α

. Kąt

δ

jest kątem prostym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta

β

jest równa

Zadanie 11 Planimetria

1 pkt

Dany jest prostokąt

A B C D

o bokach długości

4

cm i

9

cm. Ten prostokąt narysowano w skali

2 : 1

i otrzymano prostokąt

E F G H

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Obwód prostokąta $E F G H$ jest dwukrotnie większy od obwodu prostokąta $A B C D$ .
Pole prostokąta $E F G H$ jest równe $144 cm^{2}$ .

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

Na kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty

M

,

W

,

S

oznaczają położenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa znajduje się

3

km na północ i

4

km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się

5

km na wschód od schroniska.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż $10$ km.

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

Bok

A D

równoległoboku

A B C D

ma długość

6

, a przekątna

B D

prostopadła do tego boku ma długość

8

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód równoległoboku

A B C D

jest równy

Zadanie 12.1 Planimetria

3 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości

x

metrów nieprzekraczającej

10

metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy

4

metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Wykaż, że pole

P

(wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Z ośmiu jednakowych patyczków zbudowano figurę

S

(zobacz rysunek). Ta figura ma dwie osie symetrii w płaszczyźnie rysunku.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Po usunięciu z figury $S$ patyczków $A F$ i $A B$ , bez przesuwania pozostałych patyczków, otrzymamy figurę, która ma jedną oś symetrii.
Po usunięciu z figury $S$ patyczka $F E$ , bez przesuwania pozostałych patyczków, otrzymamy figurę, która nie ma osi symetrii.

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Przekątna

A D

dzieli pięciokąt

A B C D E

na trójkąt

A D E

i na kwadrat

A B C D

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

A D E

jest równe

28

, a wysokość poprowadzona z wierzchołka

E

na bok

A D

jest równa

7

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu

A B C D

jest równe

Zadanie 17 Planimetria

1 pkt

Długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa

16

.
Wysokość tego trójkąta jest równa

Zadanie 18 Planimetria

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

.
Odcinek

B D

jest średnicą tego okręgu oraz

∣∠ A B D ∣ = 18°

.
Punkt

D

leży na krótszym łuku

C A

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

B C A

jest równa

Zbiór zadań

Wyniki