Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 8

3 pkt

Dane są parabola o równaniu

y = x^{2}

oraz punkty

A = (0, 2)

i

B = (1, 3)

(zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołek

C

leży na tej paraboli. Niech

m

oznacza pierwszą współrzędną punktu

C

.

Wyznacz wszystkie wartości

m

, dla których trójkąt

A B C

jest ostrokątny.

m \in (\frac{- 1 - 17}{2}, - 2) \cup (1, \frac{- 1 + 17}{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Kąt przy wierzchołku $C$ jest kątem wpisanym w okrąg o średnicy $A B$ wtedy, gdy $C$ leży na tym okręgu - jest wówczas kątem prostym. Gdy $C$ leży poza kołem o średnicy $A B$ , kąt ten jest ostry, a gdy wewnątrz koła - rozwarty. Trójkąt $A B C$ jest więc ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $C$ leży poza tym kołem oraz gdy dodatkowo leży między prostymi prostopadłymi do $A B$ poprowadzonymi przez punkty $A$ i $B$ (czyli na jednym z fragmentów $M_{1} M_{2}$ lub $N_{1} N_{2}$ paraboli - patrz rysunek).

Zadanie 18 Geometria analityczna

1 pkt

Końcami odcinka

P R

są punkty

P = (4, 7)

i

R = (- 2, - 3)

. Odległość punktu

T = (3, - 1)

od środka odcinka

P R

jest równa

Zadanie 21 Geometria analityczna

1 pkt

Proste o równaniach

y = 3 a x - 2

i

y = 2 x + 3 a

są prostopadłe. Wtedy

a

jest równe

Zadanie 21 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych dane są dwa punkty

A = (1, - 2)

oraz

B = (3, 1)

. Współczynnik kierunkowy prostej

A B

jest równy

Zadanie 21 Geometria analityczna

1 pkt

Prosta przechodząca przez punkty

(- 4, - 1)

oraz

(5, 5)

ma równanie

Zadanie 22 Geometria analityczna

1 pkt

Dany jest trapez

A B C D

, w którym boki

A B

i

C D

są równoległe oraz

C = (3, 5)

. Wierzchołki

A

i

B

tego trapezu leżą na prostej o równaniu

y = 5 x + 3

. Wtedy bok

C D

tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu

Zadanie 22 Geometria analityczna

1 pkt

Proste o równaniach

y = - \frac{1}{m - 2} x - 1

i

y = \frac{1}{3} x + 1

są równoległe. Wynika stąd, że

Zadanie 23 Geometria analityczna

1 pkt

W prostokącie

A B C D

dane są wierzchołki

C = (- 3, 1)

oraz

D = (2, 1)

. Bok

A D

ma długość

6

. Pole tego prostokąta jest równe

Zadanie 23 Geometria analityczna

1 pkt

Punkty

A = (3, 7)

i

C = (- 4, 6)

są końcami przekątnej kwadratu

A B C D

. Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy

Zadanie 24 Geometria analityczna

1 pkt

Obrazem prostej o równaniu

x - 2 y + 3 = 0

w symetrii osiowej względem osi

O y

jest prosta o równaniu

Zadanie 25 Geometria analityczna

1 pkt

Punkt

A = (3, - 5)

jest wierzchołkiem kwadratu

A B C D

, a punkt

M = (1, 3)

jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu

A B C D

jest równe

Zadanie 35 Geometria analityczna

5 pkt

Podstawa

A B

trójkąta równoramiennego

A B C

jest zawarta w prostej o równaniu

y = - 2 x + 16

. Wierzchołki

B

i

C

mają współrzędne

B = (3, 10)

i

C = (- 2, 3)

. Oblicz współrzędne wierzchołka

A

i pole trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 35 Geometria analityczna

5 pkt

Punkty

A = (- 20, 12)

i

B = (7, 3)

są wierzchołkami trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Wierzchołek

C

leży na osi

O y

układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka

C

oraz obwód tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Geometria analityczna

1 pkt

Boki trójkąta

A B C

są zawarte w prostych o równaniach

y = \frac{2}{3} x + 2

i

y = - x + 2

oraz osi

O x

układu współrzędnych (zobacz rysunek).

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Zadanie 8 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych zaznaczono trójkąt

A B C

oraz punkt

P

należący do boku

B C

. Wszystkie współrzędne punktów

A

,

B

,

C

i

P

są liczbami całkowitymi.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta $P A B$ jest równe polu trójkąta $P A C$ .
Pole trójkąta $A B C$ jest równe $21$ .

Zbiór zadań

Wyniki