Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 3

5 pkt

Rozwiąż równanie

sin (4 x) - sin (2 x) = 4 cos^{2} x - 3

w zbiorze

[0, 2 π]

. Zapisz obliczenia.

x \in {\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{4}, \frac{11 π}{6}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Stosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta: $sin (4 x) = sin (2 \cdot 2 x) = 2 sin (2 x) cos (2 x)$ oraz $4 cos^{2} x - 3 = 2 (2 cos^{2} x - 1) - 1 = 2 cos (2 x) - 1$ . Podstawiamy do równania:

Zadanie 10 Trygonometria

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3}{3} x - 3

.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

y = f (x)

jest prostą nachyloną do osi

O x

pod kątem ostrym

α

.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Sinus kąta

α

jest równy ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (2 x) + cos (2 x) = 1 + sin x - cos x

w zbiorze

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Trygonometria

5 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

miara kąta

B A C

jest dwa razy większa od miary kąta

A B C

. Punkt

D

jest środkiem boku

A B

. Niech

α

oznacza miarę kąta

A B C

, natomiast

β

- miarę kąta

A D C

(zobacz rysunek).

Oblicz

\frac{tg β}{sin ( 2 α )}

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Trygonometria

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

cos α = \frac{24}{25}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta

α

jest równy

Zadanie 17 Trygonometria

1 pkt

W trójkącie prostokątnym

A B C

sinus kąta

C A B

jest równy

\frac{3}{5}

, a przeciwprostokątna

A B

jest o

8

dłuższa od przyprostokątnej

B C

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przeciwprostokątnej

A B

tego trójkąta jest równa

Zadanie 17.1 Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = 15

i

∣ B C ∣ = 8

. Na przyprostokątnej

A B

leży taki punkt

D

, że

∣ B D ∣ = 6

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta ostrego

A B C

jest równy

Zadanie 17.2 Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = 15

i

∣ B C ∣ = 8

. Na przyprostokątnej

A B

leży taki punkt

D

, że

∣ B D ∣ = 6

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta ostrego

A D C

jest równy

Zadanie 18 Trygonometria

1 pkt

Kąt o mierze

α

jest rozwarty oraz

sin α = \frac{3}{4}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze

α

jest równy

Zadanie 18 Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 5

,

∣ A C ∣ = 2

oraz

cos ∣∠ B A C ∣ = \frac{3}{5}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku

B C

tego trójkąta jest równa

Zadanie 18 Trygonometria

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono kąt o mierze

α

taki, że

tg α = - 3

oraz

90° < α < 180°

(zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ………… oraz ………… .

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 19 Trygonometria

1 pkt

Liczba

sin^{3} 20° + cos^{2} 20° \cdot sin 20°

jest równa

Zadanie 19 Trygonometria

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

1 + cos^{2} 27°

jest równa

Zadanie 20 Trygonometria

1 pkt

Podstawy trapezu prostokątnego

A B C D

mają długości:

∣ A B ∣ = 8

oraz

∣ C D ∣ = 5

. Wysokość

A D

tego trapezu ma długość

3

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

A B C

jest równa

Zadanie 20 Trygonometria

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

cos α = \frac{5}{13}

. Wtedy

Zbiór zadań

Wyniki