Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 17

3 pkt

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny

A B C

o przyprostokątnych

12

cm i

16

cm (rysunek I). Następnie połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią przerywaną równoległą do krótszej przyprostokątnej, a potem rozciął trójkąt

A B C

wzdłuż tej linii na dwie figury. Z tych figur złożył trapez

P R S T

(rysunek II).

Oblicz różnicę obwodów trójkąta

A B C

i trapezu

P R S T

. Zapisz obliczenia.

4

cm

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Liczymy przeciwprostokątną $B C$ z twierdzenia Pitagorasa.
$∣ B C ∣^{2} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 144 + 256 = 400 ∣ B C ∣ = 20$

Zadanie 28 Planimetria

2 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

. Punkt

S

jest środkiem boku

A B

tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów

A

i

B

od prostej

C S

są równe.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Planimetria

2 pkt

Dany jest okrąg o środku w punkcie

S

i promieniu

r

. Na przedłużeniu cięciwy

A B

poza punkt

B

odłożono odcinek

B C

równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty

C

i

S

poprowadzono prostą. Prosta

C S

przecina dany okrąg w punktach

D

i

E

(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta

A C S

jest równa

α

, to miara kąta

A S D

jest równa

3 α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Planimetria

2 pkt

Dany jest okrąg o środku w punkcie

S

i promieniu

r

. Na przedłużeniu cięciwy

A B

poza punkt

B

odłożono odcinek

B C

równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty

C

i

S

poprowadzono prostą. Prosta

C S

przecina dany okrąg w punktach

D

i

E

(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta

A C S

jest równa

α

, to miara kąta

A S D

jest równa

3 α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Planimetria

2 pkt

Wierzchołki

A

i

C

trójkąta

A B C

leżą na okręgu o promieniu

r

, a środek

S

tego okręgu leży na boku

A B

trójkąta (zobacz rysunek). Prosta

B C

jest styczna do tego okręgu w punkcie

C

, a ponadto

∣ A C ∣ = r 3

. Wykaż, że kąt

A C B

ma miarę

120°

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Planimetria

2 pkt

W trapezie prostokątnym

A B C D

dłuższa podstawa

A B

ma długość

8

. Przekątna

A C

tego trapezu ma długość

4

i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej

B D

tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Planimetria

2 pkt

W trapezie prostokątnym

A B C D

dłuższa podstawa

A B

ma długość

8

. Przekątna

A C

tego trapezu ma długość

4

i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej

B D

tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Planimetria

4 pkt

Środek okręgu leży w odległości

10

cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o

22

cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Planimetria

4 pkt

Dany jest trójkąt rozwartokątny

A B C

, w którym

∢ A C B

ma miarę

120°

. Ponadto wiadomo, że

∣ B C ∣ = 10

i

∣ A B ∣ = 107

(zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Planimetria

5 pkt

Dany jest czworokąt wypukły

A B C D

, w którym

∣ A D ∣ = ∣ A B ∣ = ∣ B C ∣ = a

,

∣ ∢ B A D ∣ = 6 0^{\circ}

i

∣ ∢ A D C ∣ = 13 5^{\circ}

. Oblicz pole czworokąta

A B C D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment podłogi pokrytej kaflami w kształcie kwadratów o boku długości

60

cm i kaflami w kształcie jednakowych prostokątów (patrz rysunek I). Na podłodze tej położono prostokątny dywan (patrz rysunek II).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zadanie 12 Planimetria

5 pkt

Trapez prostokątny

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

jest opisany na okręgu. Ramię

B C

ma długość

10

, a ramię

A D

jest wysokością trapezu. Podstawa

A B

jest

2

razy dłuższa od podstawy

C D

. Oblicz pole tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

W trójkącie

A B C

największą miarę ma kąt przy wierzchołku

C

. Miara kąta przy wierzchołku

A

jest równa

48°

, a miara kąta przy wierzchołku

B

jest równa różnicy miary kąta przy wierzchołku

C

oraz miary kąta przy wierzchołku

A

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $48°$ .
Trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt o bokach długości:

25

,

35

,

45

. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

Zadanie 15.1 Planimetria

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
a) Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Dywan ma powierzchnię większą niż powierzchnia $4$ kwadratowych kafli.
Dywan ma wymiary $90$ cm $\times$ $120$ cm.

Zbiór zadań

Wyniki