Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 14

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 6

, a punkt

D

jest środkiem podstawy

A B

. Okrąg o środku

D

jest styczny do prostej

A C

w punkcie

M

. Punkt

K

leży na boku

A C

, punkt

L

leży na boku

B C

, odcinek

K L

jest styczny do rozważanego okręgu oraz

∣ K C ∣ = ∣ L C ∣ = 2

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

.

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Uzupełniamy rysunek, łącząc $C$ z $D$ oraz $D$ z $M$ . Punkt $P$ to środek odcinka $K L$ , czyli punkt styczności $K L$ z okręgiem. Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinek $K L$ jest równoległy do $A B$ . Oznaczamy $∣ C P ∣ = x$ .

Zadanie 5 Planimetria

2 pkt

W trójkącie

A B C

bok

A B

jest 3 razy dłuższy od boku

A C

, a długość boku

B C

stanowi

\frac{4}{5}

długości boku

A B

. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta

A B C

.
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 6

, a punkt

D

jest środkiem podstawy

A B

. Okrąg o środku

D

jest styczny do prostej

A C

w punkcie

M

. Punkt

K

leży na boku

A C

, punkt

L

leży na boku

B C

, odcinek

K L

jest styczny do rozważanego okręgu oraz

∣ K C ∣ = ∣ L C ∣ = 2

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Planimetria

4 pkt

W trójkącie równoramiennym

A B C

:

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 10

, a miara kąta

A B C

jest równa

30°

. Na boku

B C

wybrano punkt

P

, taki, że

\frac{∣ B P ∣}{∣ P C ∣} = \frac{2}{3}

. Oblicz sinus kąta

α

(zobacz rysunek).

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Planimetria

1 pkt

Kąt ostry rombu ma miarę

60°

, a bok tego rombu ma długość równą

4

cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zadanie 11 Planimetria

1 pkt

Figura zacieniowana na rysunku jest równoległobokiem.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Suma miar kątów $α$ i $β$ wynosi $180°$ .
Kąt $α$ ma miarę $3$ razy mniejszą niż kąt $β$ .

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny

K L M

o ramionach

K M

i

L M

. Miara kąta

K M L

jest dwa razy większa niż miara kąta

K L M

.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Miara kąta

K L M

jest równa A/B.

Trójkąt

K L M

jest C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wysokość trapezu i krótsza podstawa trapezu mają taką samą długość.
Wysokość trapezu jest równa połowie dłuższej podstawy trapezu.

Zadanie 14 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny

A B C

o boku długości

10

cm. W tym trójkącie poprowadzono wysokość

C D

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trójkąta

A D C

jest równy

Zadanie 14 Planimetria

1 pkt

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym

30°

suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa

12

cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Zadanie 14 Planimetria

1 pkt

W okręgu o środku

S

i promieniu

5

cm narysowano cięciwę

A B

o długości

8

cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odległość punktu $S$ od cięciwy $A B$ jest równa $3$ cm.
Obwód trójkąta $A S B$ jest równy $16$ cm.

Zadanie 14 Planimetria

1 pkt

Na okręgu o środku w punkcie

O

leżą punkty

A

,

B

i

C

(zobacz rysunek). Kąt

A B C

ma miarę

121°

, a kąt

B O C

ma miarę

40°

.

Kąt

A O B

ma miarę

Zadanie 14 Planimetria

6 pkt

Dany jest romb

A B C D

. Przez wierzchołki

B

i

D

poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki

C D

i

A B

– odpowiednio – w punktach

M

i

N

, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury

A N D

,

N B M D

,

B C M

o równych polach. Ponadto wiadomo, że

∣ M B ∣ = ∣ N D ∣ = ∣ B D ∣

(zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Przyprostokątna

A C

trójkąta prostokątnego

A B C

ma długość

6

, a wysokość

C D

dzieli go na dwa takie trójkąty

A D C

i

C D B

, że pole trójkąta

A D C

jest

4

razy większe od pola trójkąta

C D B

(zobacz rysunek).

Przyprostokątna

B C

trójkąta prostokątnego

A B C

jest równa

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

W trójkącie

A B C

punkt

D

leży na boku

B C

, a punkt

E

leży na boku

A C

. Odcinek

D E

jest równoległy do boku

A B

, a ponadto

∣ A E ∣ = ∣ D E ∣ = 4

,

∣ A B ∣ = 6

(zobacz rysunek).

Odcinek

C E

ma długość

Krótsza przekątna dzieli ten romb na dwa trójkąty równoboczne.
Pole tego rombu jest równe $83$ cm $^{2}$ .

Zbiór zadań

Wyniki