Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Z wykresu odczytujemy przebieg funkcji $f$: rosnący odcinek łączy punkty domknięte $(-4,-2)$ i $(2,4)$, a opadający odcinek łączy punkty otwarte $(2,3)$ i $(5,0)$.
2. Sprawdzamy odpowiedź A. Na rosnącym odcinku funkcja przyjmuje wartość $3$ dla:
   $$x=1$$
3. Na opadającym odcinku wartość $3$ nigdy nie jest osiągana, bo punkt początkowy $(2,3)$ jest otwarty. Jedynym rozwiązaniem równania $f(x)=3$ jest więc $x=1$ — zdanie A jest prawdziwe.
4. Odpowiedź B jest fałszywa: w przedziale $⟨2,3⟩$ funkcja maleje od wartości bliskiej $3$ (nieosiągniętej) do $f(3)=2$, więc jej największa wartość w tym przedziale nie jest równa $3$.
5. Odpowiedź C jest fałszywa: w przedziale $⟨0,3⟩$ funkcja najpierw rośnie (od $f(0)=2$ do $f(2)=4$), a dopiero potem maleje, więc nie jest malejąca na całym przedziale.
6. Odpowiedź D jest fałszywa: jedynym miejscem zerowym funkcji jest $x=-2$. Drugie przecięcie z osią $Ox$ wypadałoby dla $x=5$, ale ten punkt jest otwarty i nie należy do wykresu funkcji.

1. Wynik mnożenia jest równy $0$ gdy jeden z czynników jest równy $0$. Przyrównajmy do zera każdy z czynników tego równania:
   $$\begin{array}{rl}& x+3=0\\ & x=-3\end{array}\begin{array}{rl}& x-m=0\\ & x=m\end{array}\begin{array}{rl}& 2x+4=0\\ & 2x=-4\\ & x=-2\end{array}$$
2. Z treści zadania wiemy że suma rozwiązań jest równa $0$:
   $$-3+m+(-2)=0$$
3. Stąd:
   $$m=5$$

1. Dziedzina to zbiór argumentów, dla których wykres jest narysowany. Wykres zaczyna się w punkcie $x=-5$ zaznaczonym pełnym kółkiem (ten argument należy do dziedziny), a kończy się w punkcie $x=4$ zaznaczonym pustym kółkiem (ten argument nie należy do dziedziny).
2. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨-5,4)$.

1. Z wykresu odczytujemy skrajne wartości funkcji $f$. Rosnący odcinek zaczyna się w punkcie domkniętym $(-4,-2)$ i kończy w punkcie domkniętym $(2,4)$, a opadający odcinek przyjmuje wartości pomiędzy $0$ a $3$ (bez osiągania tych końców).
2. Najmniejsza wartość funkcji, $-2$, jest osiągnięta dla $x=-4$, a największa, $4$, jest osiągnięta dla $x=2$ — obie wartości są przyjmowane, więc zbiór wartości jest przedziałem domkniętym:
   $$⟨-2,4⟩$$

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje:
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej (czyli $x+18$), to drzew liściastych byłoby $3$ razy więcej niż iglastych. Liczba $y$ nie zmienia się, więc:
   $$y=3(x+18)$$
3. Otrzymany układ równań odpowiada odpowiedzi D.

1. Policzmy rozwiązania tego układu równań. Dzielimy pierwsze równanie przez $20$, a drugie przez $26$, otrzymując prostszy układ:
   $$\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{20}\\ x-y=\frac{1}{26}\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_0$:
   $$\begin{array}{rl}& x+y=\frac{1}{20}\\ +& x-y=\frac{1}{26}\\ & \\ & 2x=\frac{1}{20}+\frac{1}{26}\\ & 2x=\frac{13+10}{260}\\ & 2x=\frac{23}{260}\\ & x_0=\frac{23}{520}\end{array}$$
3. Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_0$:
   $$\begin{array}{rl}& x+y=\frac{1}{20}\\ -& x-y=\frac{1}{26}\\ & \\ & 2y=\frac{1}{20}-\frac{1}{26}\\ & 2y=\frac{13-10}{260}\\ & 2y=\frac{3}{260}\\ & y_0=\frac{3}{520}\end{array}$$
4. Obie liczby $x_0$ oraz $y_0$ są dodatnie, więc ich suma i iloczyn również są liczbami dodatnimi: obydwa stwierdzenia są prawdziwe (P, P).

1. Mnożymy równanie na krzyż:
   $$5(x+2)=2(3x-1)$$
2. Rozwiązujemy:
   $$\begin{array}{rl}5x+10& =6x-2\\ 10+2& =6x-5x\\ x& =12\end{array}$$

1. Współczynnik kierunkowy funkcji $f(x)=3x-4$ jest równy $3$, czyli jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca (P).
2. Wykres funkcji przecina oś $Oy$ w punkcie o odciętej $x=0$:
   $$f(0)=3\cdot 0-4=-4$$
3. Zatem wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$, a nie $(0,4)$ — stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny:
   $$k+2<0⟺k<-2$$
2. Poprawny przedział to $(-\infty ,-2)$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Sprawdzamy drugie stwierdzenie: dla $k=4$ podstawiamy punkt $(0,1)$:
   $$f(0)=k-3=4-3=1$$
4. Wykres przechodzi przez punkt $(0,1)$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Rosnący odcinek wykresu łączy punkty $(-4,-2)$ i $(2,4)$, więc jego współczynnik kierunkowy wynosi:
   $$a=\frac{4-(-2)}{2-(-4)}=\frac{6}{6}=1$$
2. Wzór tej części funkcji to $f(x)=x+2$ dla $x\in ⟨-4,2⟩$. Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy:
   $$\begin{array}{rl}& x+2<0\\ & x<-2\end{array}$$
3. Łącząc ten warunek z dziedziną odcinka $⟨-4,2⟩$, otrzymujemy $x\in ⟨-4,-2)$.
4. Opadający odcinek wykresu łączy punkty otwarte $(2,3)$ i $(5,0)$, więc na całym przedziale $(2,5)$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie (od wartości bliskiej $3$ do wartości bliskiej $0$, nigdy nie osiągając zera). Zatem zbiorem argumentów, dla których $f$ jest ujemna, jest:
   $$⟨-4,-2)$$

1. We wzorze $f(x)=3x-4$ współczynnik kierunkowy $a=3$ jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca.
2. Wyraz wolny $b=-4$ jest drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu z osią $Oy$, czyli wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$.

1. Z wykresu odczytujemy, że prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$, a oś $Ox$ w punkcie $(-2,0)$ — zgodnie z treścią zadania oba punkty mają współrzędne całkowite.
2. Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla $x=0$, czyli rzędna punktu przecięcia z osią $Oy$:
   $$b=-3<0$$
3. Współczynnik kierunkowy $a$ obliczamy na podstawie punktów $(-2,0)$ i $(0,-3)$:
   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}<0$$
4. Zatem $a<0$ oraz $b<0$.