Zadanie 9 - Matura podstawowa 2026 (marzec) - Rozwiązanie

1 pkt

Rozwiązaniem układu równań

{20 x + 20 y = 1 26 x - 26 y = 1

jest para liczb:

x = x_{0}

y = y_{0}

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Suma $x_{0} + y_{0}$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Iloczyn $x_{0} \cdot y_{0}$ jest liczbą dodatnią.	P	F

Poprawna odpowiedź

Policzmy rozwiązania tego układu równań. Dzielimy pierwsze równanie przez $20$ , a drugie przez $26$ , otrzymując prostszy układ:
$⎩ ⎨ ⎧ x + y = \frac{1}{20} x - y = \frac{1}{26}$
Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_{0}$ :
$+ x + y = \frac{1}{20} x - y = \frac{1}{26} 2 x = \frac{1}{20} + \frac{1}{26} 2 x = \frac{13 + 10}{260} 2 x = \frac{23}{260} x_{0} = \frac{23}{520}$
Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_{0}$ :
$- x + y = \frac{1}{20} x - y = \frac{1}{26} 2 y = \frac{1}{20} - \frac{1}{26} 2 y = \frac{13 - 10}{260} 2 y = \frac{3}{260} y_{0} = \frac{3}{520}$
Obie liczby $x_{0}$ oraz $y_{0}$ są dodatnie, więc ich suma i iloczyn również są liczbami dodatnimi: obydwa stwierdzenia są prawdziwe (P, P).

Podobne zadania z działu układy równań