Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Pierwsza prosta na rysunku przecina oś $y$ w punkcie $(0,2)$ i jest malejąca (opada od lewej do prawej), więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny — pasuje do niej wzór $y=-x+2$.
2. Druga prosta przecina oś $y$ w punkcie $(0,-3)$ i jest rosnąca, bardziej stroma niż pierwsza — pasuje do niej wzór $y=2x-3$.
3. Taki układ prostych opisuje układ równań z odpowiedzi B.

1. Suma współczynników wielomianu $a+b+c+d$ to wartość tego wielomianu dla $x=1$, czyli $W(1)$. Ponieważ $W(x)=F(x)\cdot G(x)$, to $W(1)=F(1)\cdot G(1)$.
2. Obliczamy wartości $F(1)$ i $G(1)$:
   $$F(1)=(2-3\cdot 1{)}^2=(-1{)}^2=1,G(1)=3\cdot 1-2=1$$
3. Mnożymy otrzymane wartości:
   $$W(1)=F(1)\cdot G(1)=1\cdot 1=1$$

1. Przeglądamy wiersz $y$ w tabeli i szukamy największej wartości — jest nią $5$ (dla $x=2$), czyli odpowiedź D.
2. Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego $y=0$. W tabeli $y=0$ dla $x=4$, czyli odpowiedź C.

1. Zapisujemy nierówność w postaci ogólnej:
   $$x^2-6x-7\le 0$$
2. Obliczamy deltę $x^2-6x-7$:
   $$\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-7)=36+28=64$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:
   $$\begin{array}{rl}& x_1=\frac{6-\sqrt{64}}{2}=\frac{6-8}{2}=-1\\ & x_2=\frac{6+\sqrt{64}}{2}=\frac{6+8}{2}=7\end{array}$$
4. Ramiona paraboli $y=x^2-6x-7$ są skierowane w górę (współczynnik przy $x^2$ jest dodatni), więc funkcja przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi. Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności ze szkicu:
   
   

1. Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia do osi $Ox$:
   $$\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$$
2. Rozpoznajemy kąt, dla którego tangens ma tę wartość — to $\alpha =30^{\circ }$.
3. Obliczamy sinus tego kąta:
   $$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$$

1. Ponieważ w obu sadach łącznie posadzono $1960$ drzew:
   $$x+y=1960$$
2. Po roku w pierwszym sadzie uschło $5\%$ drzew, więc pozostało $0,95x$ drzew; w drugim sadzie uschło $10\%$, więc pozostało $0,9y$ drzew. Liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowiła $60\%$ liczby drzew pozostałych w pierwszym sadzie, czyli:
   $$0,9y=0,6\cdot 0,95x$$
3. Otrzymujemy układ równań zgodny z odpowiedzią A:
   $$\begin{array}{rl}& x+y=1960\\ & 0,6\cdot 0,95x=0,9y\end{array}$$

1. Proste na rysunku są równoległe, więc oba równania układu muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy. Tylko w odpowiedziach A i C obie proste mają równe współczynniki kierunkowe (w B i D są różne), więc odpadają B i D.
2. Proste na rysunku są malejące, więc współczynnik kierunkowy musi być ujemny. W odpowiedzi C wynosi on $\frac{3}{2}>0$ (proste rosnące), a w odpowiedzi A wynosi $-\frac{3}{2}<0$ – zgodnie z rysunkiem. Zostaje odpowiedź A.

1. Prosta, która jest wykresem funkcji $f$, przechodzi przez punkty $(2,0)$ i $(0,4)$. Obliczamy jej współczynnik kierunkowy:
   $$a=\frac{4-0}{0-2}=-2$$
2. Zatem pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P) — współczynnik kierunkowy prostej jest równy $(-2)$.
3. Trójkąt ograniczony osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji $f$ ma wierzchołki $(0,0)$, $(2,0)$ i $(0,4)$. Jego przyprostokątne mają długości $2$ i $4$, więc jego pole jest równe:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$$
4. Ponieważ $4\ne 8$, drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Masa bańki z mlekiem rośnie wraz z liczbą litrów mleka $x$ (im więcej mleka, tym większa masa), więc funkcja $f$ jest rosnąca, a nie malejąca — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
2. Funkcja $f$ opisuje masę, która dla $x\in [0,10]$ zawsze wynosi co najmniej $6,5$ kg — nigdy nie jest równa zero, więc funkcja rzeczywiście nie ma miejsc zerowych — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Z wykresu odczytujemy, że funkcja $f$ jest łamaną złożoną z dwóch odcinków: pierwszy prowadzi od punktu $(-1,4)$ do punktu $(1,0)$, drugi od punktu $(1,0)$ do punktu $(7,4)$.
2. Wyznaczamy wzór funkcji na pierwszym odcinku (wartość spada z $4$ do $0$, gdy $x$ rośnie o $2$, więc współczynnik kierunkowy jest równy $-2$):
   $$f(x)=-2(x-1)=-2x+2,x\in [-1,1]$$
3. Wyznaczamy wzór funkcji na drugim odcinku (wartość rośnie z $0$ do $4$, gdy $x$ rośnie o $6$, więc współczynnik kierunkowy jest równy $\frac{2}{3}$):
   $$f(x)=\frac{2}{3}(x-1),x\in [1,7]$$
4. Znajdujemy miejsce, w którym pierwszy odcinek przyjmuje wartość $2$:
   $$\begin{array}{rl}& -2x+2=2\\ & -2x=0\\ & x=0\end{array}$$
5. Znajdujemy miejsce, w którym drugi odcinek przyjmuje wartość $2$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}(x-1)=2\\ & x-1=3\\ & x=4\end{array}$$
6. Funkcja maleje od $4$ do $0$ na przedziale $[-1,1]$, a następnie rośnie od $0$ do $4$ na przedziale $[1,7]$. Wartości nie większe od $2$ funkcja przyjmuje dokładnie pomiędzy wyznaczonymi punktami, czyli dla $x\in [0,4]$.

1. Przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $Ox$ odpowiada podstawieniu $x+4$ w miejsce $x$ we wzorze funkcji, czyli $g(x)=f(x+4)$ — odpowiedź A.
2. Przesunięcie wzdłuż osi $Ox$ zmienia dziedzinę funkcji (przesuwa się ona o $4$ w lewo), ale nie zmienia zbioru wartości — wykresy $f$ i $g$ przyjmują dokładnie te same wartości $y$, tylko dla innych argumentów $x$. Zatem funkcje $f$ i $g$ mają takie same zbiory wartości — odpowiedź 2.