Zbiór zadań

Znaleziono 17 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje pierwsze równanie.
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej, byłoby ich $x+18$. Wtedy drzew liściastych ($y$) byłoby $3$ razy więcej niż tak zwiększonej liczby drzew iglastych.
   $$y=3(x+18)$$
3. Oba równania tworzą układ opisujący sytuację z zadania.
   $$\begin{array}{rl}& x+y=198\\ & 3(x+18)=y\end{array}$$

1. Policzmy rozwiązania tego układu równań. Dzielimy pierwsze równanie przez $20$, a drugie przez $26$, otrzymując prostszy układ:
   $$\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{20}\\ x-y=\frac{1}{26}\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_0$:
   $$\begin{array}{rl}& x+y=\frac{1}{20}\\ +& x-y=\frac{1}{26}\\ & \\ & 2x=\frac{1}{20}+\frac{1}{26}\\ & 2x=\frac{13+10}{260}\\ & 2x=\frac{23}{260}\\ & x_0=\frac{23}{520}\end{array}$$
3. Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_0$:
   $$\begin{array}{rl}& x+y=\frac{1}{20}\\ -& x-y=\frac{1}{26}\\ & \\ & 2y=\frac{1}{20}-\frac{1}{26}\\ & 2y=\frac{13-10}{260}\\ & 2y=\frac{3}{260}\\ & y_0=\frac{3}{520}\end{array}$$
4. Obie liczby $x_0$ oraz $y_0$ są dodatnie, więc ich suma i iloczyn również są liczbami dodatnimi: obydwa stwierdzenia są prawdziwe (P, P).

1. Mnożymy pierwsze równanie stronami przez $-4$:
   $$\begin{array}{rl}& -4(x-2y)=-4\cdot 3\\ & -4x+8y=-12\end{array}$$
2. Otrzymane równanie jest identyczne z drugim równaniem układu — oba równania opisują tę samą prostą. Oznacza to, że każda para $(x,y)$ spełniająca $x-2y=3$ spełnia też drugie równanie, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

1. Podstawiamy $x=-1$ oraz $y=6$ do obu równań układu:
   $$\begin{array}{rl}& a\cdot (-1)+3\cdot 6=20\\ & -1+b\cdot 6=5\end{array}$$
2. Upraszczamy oba równania:
   $$\begin{array}{rl}& -a+18=20\\ & 6b=6\end{array}$$
3. Wyznaczamy $a$ i $b$:
   $$\begin{array}{rl}& a=-2\\ & b=1\end{array}$$
4. Obliczamy wartość wyrażenia $a\cdot b$:
   $$a\cdot b=(-2)\cdot 1=-2$$

1. Pierwsza prosta na rysunku przecina oś $y$ w punkcie $(0,2)$ i jest malejąca (opada od lewej do prawej), więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny — pasuje do niej wzór $y=-x+2$.
2. Druga prosta przecina oś $y$ w punkcie $(0,-3)$ i jest rosnąca, bardziej stroma niż pierwsza — pasuje do niej wzór $y=2x-3$.
3. Taki układ prostych opisuje układ równań z odpowiedzi B.

1. Proste na rysunku są równoległe, więc oba równania układu muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy. Tylko w odpowiedziach A i C obie proste mają równe współczynniki kierunkowe (w B i D są różne), więc odpadają B i D.
2. Proste na rysunku są malejące, więc współczynnik kierunkowy musi być ujemny. W odpowiedzi C wynosi on $\frac{3}{2}>0$ (proste rosnące), a w odpowiedzi A wynosi $-\frac{3}{2}<0$ – zgodnie z rysunkiem. Zostaje odpowiedź A.

1. Z pierwszego równania wyznaczamy $x$:
   $$x=3y-5$$
2. Podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 2(3y-5)+y+3=0\\ & 6y-10+y+3=0\\ & 7y-7=0\\ & y=1\end{array}$$
3. Obliczamy $x$:
   $$x=3\cdot 1-5=-2$$

1. Podstawiamy współrzędne punktu $(-8,6)$ do obu równań z odpowiedzi D i sprawdzamy, czy są spełnione:
   $$\begin{array}{rl}& -8-6=-14\\ & -2\cdot (-8)+6=16+6=22\end{array}$$
2. Obie równości są prawdziwe, więc punkt $(-8,6)$ jest punktem przecięcia prostych z odpowiedzi D. Dla pozostałych par co najmniej jedno z równań nie jest przez ten punkt spełnione.

1. Z wykresu odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie $(1,1)$ — jedna z prostych jest malejąca, druga rosnąca.
2. Prosta malejąca przechodzi przez punkty $(-3,5)$ oraz $(2,0)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:
   $$a=\frac{0-5}{2-(-3)}=\frac{-5}{5}=-1$$
3. Podstawiając punkt $(2,0)$ do wzoru $y=-x+b$, wyznaczamy wyraz wolny:
   $$0=-2+b⟹b=2$$
4. Prosta rosnąca przechodzi przez punkty $(0,-1)$ oraz $(1,1)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:
   $$a=\frac{1-(-1)}{1-0}=2$$
5. Podstawiając punkt $(0,-1)$ do wzoru $y=2x+b$, wyznaczamy wyraz wolny:
   $$-1=2\cdot 0+b⟹b=-1$$
6. Zatem układ równań przedstawiony na rysunku to:
   $$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=2x-1\end{array}$$

1. Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$ wyraża się wzorem $2a+2b$ (równoważnie $2(a+b)$), a z treści zadania wiemy, że jest on równy $30$:
   $$2a+2b=30\text{czyli roˊwnowaz˙nie}2(a+b)=30$$
2. Ponieważ $a>b$, a jeden bok jest o $5$ krótszy od drugiego, to bok $a$ jest o $5$ dłuższy od boku $b$:
   $$a-b=5\text{czyli roˊwnowaz˙nie}b=a-5$$
3. Porównujemy te dwie zależności z podanymi układami. Układ C zawiera równania $2(a+b)=30$ oraz $b=a-5$, a układ E zawiera równania $2a+2b=30$ oraz $a-b=5$ — oba opisują dokładnie te same zależności, tylko zapisane w równoważny sposób. Poprawnymi odpowiedziami są C oraz E.

1. Łączna kwota zapłacona w hurtowni za $50$ par spodni po $x$ zł i $40$ marynarek po $y$ zł wynosi $8000$ zł:
   $$50x+40y=8000$$
2. Cena detaliczna spodni po doliczeniu marży $50\%$ to $1,5x$, a cena detaliczna marynarki po doliczeniu marży $20\%$ to $1,2y$. Ceny detaliczne są jednakowe:
   $$1,5x=1,2y$$
3. Otrzymujemy układ równań:
   $$\{\begin{array}{l}50x+40y=8000\\ 1,5x=1,2y\end{array}$$

1. Dzielimy pierwsze równanie przez $11$, a drugie przez $22$:
   $$\begin{array}{rl}& x-y=\frac{1}{11}\\ & x+y=-\frac{1}{22}\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_0$:
   $$\begin{array}{rl}& 2x=\frac{1}{11}-\frac{1}{22}=\frac{2}{22}-\frac{1}{22}=\frac{1}{22}\\ & x_0=\frac{1}{44}\end{array}$$
3. Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_0$:
   $$\begin{array}{rl}& 2y=-\frac{1}{22}-\frac{1}{11}=-\frac{1}{22}-\frac{2}{22}=-\frac{3}{22}\\ & y_0=-\frac{3}{44}\end{array}$$
4. Zatem $x_0=\frac{1}{44}>0$, a $y_0=-\frac{3}{44}<0$.