Zbiór zadań

Znaleziono 15 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Dzielimy obie strony nierówności przez $(-2)$, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny:
   $$\begin{array}{rl}-2(x+3)(x-2)& >0/:(-2)\\ (x+3)(x-2)& <0\end{array}$$
2. Miejsca zerowe wyrażenia to $x=-3$ oraz $x=2$. Współczynnik przy $x^2$ w iloczynie $(x+3)(x-2)$ jest dodatni, więc odpowiadająca mu parabola ma ramiona skierowane w górę - szukamy na rysunku zbioru $x$, dla których wykres jest pod osią $Ox$, czyli przedziału między miejscami zerowymi
   

1. Wymnażamy nawiasy po lewej stronie i przenosimy wszystko na jedną stronę:
   $$x^2+2x-15>9⟹x^2+2x-24>0$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^2+2x-24$:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-24)=100$$
3. Obliczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{-2-\sqrt{100}}{2}=-6,x_2=\frac{-2+\sqrt{100}}{2}=4$$
4. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, parabola przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz przedziału między pierwiastkami. Zbiorem rozwiązań nierówności jest:
   $$x\in (-\infty ,-6)\cup (4,+\infty )$$

1. Mnożymy obie strony przez $2$:
   $$16-(1-2x)\ge 6x$$
2. Upraszczamy lewą stronę:
   $$16-1+2x\ge 6x⟹15\ge 4x⟹x\le \frac{15}{4}=3,75$$
3. Największa liczba całkowita spełniająca nierówność to $3$.

1. Usuwamy nawias (mnożymy przez $-2$) i porządkujemy lewą stronę:
   $$\begin{array}{rl}& 3-2(1-2x)\ge 2x-17\\ & 3-2+4x\ge 2x-17\\ & 1+4x\ge 2x-17\end{array}$$
2. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą, i dzielimy przez $2$:
   $$\begin{array}{rl}& 4x-2x\ge -17-1\\ & 2x\ge -18\\ & x\ge -9\end{array}$$
3. Zbiorem rozwiązań jest przedział $[-9,\infty )$ — na osi liczbowej odpowiada mu zamalowany punkt w $-9$ (bo nierówność jest nieostra) i zaznaczenie liczb większych, czyli rysunek D.

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i porządkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 3(2x^2+1)<11x\\ & 6x^2+3-11x<0\\ & 6x^2-11x+3<0\end{array}$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $6x^2-11x+3$:
   $$\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 6\cdot 3=121-72=49$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{11-7}{12}=\frac{1}{3},x_2=\frac{11+7}{12}=\frac{3}{2}$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy argumentów, dla których wartości funkcji są ujemne (bo mamy znak $<0$) – to przedział między miejscami zerowymi:
   
   $$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{3}{2}\right)$$

1. Przenosimy wyraz z $x$ z prawej strony na lewą, dodając $x$ do obu stron:
   $$\begin{array}{rl}1-\frac{3}{2}x+x& <\frac{2}{3}\\ 1-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}\end{array}$$
2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę:
   $$\begin{array}{rl}-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}-1\\ -\frac{1}{2}x& <-\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $-\frac{1}{2}$ (liczbę ujemną), zmieniając kierunek nierówności:
   $$x>\frac{2}{3}$$

1. Mnożymy obie strony przez $3$:
   $$-6(x+3)\le 2-x$$
2. Rozwijamy i przenosimy wyrazy:
   $$-6x-18\le 2-x⟹-5x\le 20⟹x\ge -4$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez wspólny mianownik $15$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia):
   $$15\left(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\right)>15\cdot \frac{x}{5}$$
2. Wykonujemy mnożenie:
   $$6-5x>3x$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę nierówności:
   $$6>8x$$
4. Dzielimy obie strony przez $8$:
   $$x<\frac{3}{4}$$

1. Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażenia po lewej stronie:
   $$3x-9=0⟹x=3,x+k=0⟹x=-k$$
2. Rozwiązaniem nierówności jest przedział $(-2,3)$, więc drugim miejscem zerowym (poza $3$) jest $-2$:
   $$-k=-2⟹k=2$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $6$:
   $$12-3x\ge 2x-18$$
2. Porządkujemy wyrazy:
   $$30\ge 5x⟹x\le 6$$
3. Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest $6$.