Zbiór zadań

Znaleziono 37 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Odczytuję miejsca zerowe funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej: $x+3=0$ lub $x-2=0$.
   $$\begin{array}{rl}& x_1=-3\\ & x_2=2\end{array}$$
2. Współczynnik przy $x^2$ po rozwinięciu nawiasów jest ujemny (bo przed nawiasami stoi $-2$), więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Szukam argumentów, dla których parabola leży powyżej osi $Ox$: to przedział między miejscami zerowymi.
3. Szkicuję parabolę i odczytuję zbiór rozwiązań nierówności.
   $$x\in (-3,2)$$

1. Dzielimy obie strony nierówności przez $(-2)$, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny:
   $$\begin{array}{rl}-2(x+3)(x-2)& >0/:(-2)\\ (x+3)(x-2)& <0\end{array}$$
2. Miejsca zerowe wyrażenia to $x=-3$ oraz $x=2$. Współczynnik przy $x^2$ w iloczynie $(x+3)(x-2)$ jest dodatni, więc odpowiadająca mu parabola ma ramiona skierowane w górę - szukamy na rysunku zbioru $x$, dla których wykres jest pod osią $Ox$, czyli przedziału między miejscami zerowymi
   

1. Wymnażamy nawiasy po lewej stronie i przenosimy wszystko na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}{x}^2+2x-15& >9\\ x^2+2x-24& >0\end{array}$$
2. Obliczamy deltę:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-24)=100$$
3. Obliczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{-2-\sqrt{100}}{2}=-6,x_2=\frac{-2+\sqrt{100}}{2}=4$$
4. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, parabola ma ramiona skierowane w górę. Szukamy zbioru $x$, dla których wykres jest nad osią $Ox$, czyli na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi:
   
   $$x\in (-\infty ,-6)\cup (4,+\infty )$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $2$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia), a następnie przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a wyrazy liczbowe na drugą.
   $$\begin{array}{rl}2(3-x)& >5x-1\\ 6-2x& >5x-1\\ 6+1& >5x+2x\\ 7& >7x\\ 1& >x\end{array}$$
2. Zbiorem rozwiązań nierówności $x<1$ jest przedział:
   $$x\in (-\infty ,1)$$

1. Mnożymy obie strony przez $2$:
   $$16-(1-2x)\ge 6x$$
2. Upraszczamy lewą stronę:
   $$16-1+2x\ge 6x⟹15\ge 4x⟹x\le \frac{15}{4}=3,75$$
3. Największa liczba całkowita spełniająca nierówność to $3$.

1. Usuwamy nawias (mnożymy przez $-2$) i porządkujemy lewą stronę:
   $$\begin{array}{rl}& 3-2(1-2x)\ge 2x-17\\ & 3-2+4x\ge 2x-17\\ & 1+4x\ge 2x-17\end{array}$$
2. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą, i dzielimy przez $2$:
   $$\begin{array}{rl}& 4x-2x\ge -17-1\\ & 2x\ge -18\\ & x\ge -9\end{array}$$
3. Zbiorem rozwiązań jest przedział $[-9,\infty )$ — na osi liczbowej odpowiada mu zamalowany punkt w $-9$ (bo nierówność jest nieostra) i zaznaczenie liczb większych, czyli rysunek D.

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $2$, aby pozbyć się ułamka:
   $$\begin{array}{rl}3-x& \ge \frac{5x-1}{2}\\ 6-2x& \ge 5x-1\end{array}$$
2. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą:
   $$\begin{array}{rl}6+1& \ge 5x+2x\\ 7& \ge 7x\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $7$:
   $$1\ge x$$
4. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział:
   $$x\in (-\infty ,1]$$

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i redukujemy wyrazy podobne:
   $$\begin{array}{rl}& x(x+4)<x-2\\ & x^2+4x-x+2<0\\ & x^2+3x+2<0\end{array}$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^2+3x+2$:
   $$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$$
3. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{-3-\sqrt{1}}{2}=-2,x_2=\frac{-3+\sqrt{1}}{2}=-1$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, a wyrażenie $x^2+3x+2$ przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami:
   
5. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział:
   $$x\in (-2,-1)$$

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, a następnie dzielimy nierówność przez $(-3)$, zmieniając znak nierówności na przeciwny:
   $$\begin{array}{rl}-3x^2& >6x-9\\ -3x^2-6x+9& >0/:(-3)\\ x^2+2x-3& <0\end{array}$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $x^2+2x-3$:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$
3. Obliczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3,x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$$
4. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, parabola ma ramiona skierowane do góry, więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi. Szkicujemy wykres i odczytujemy przedział, w którym $x^2+2x-3<0$:
   
   
5. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział:
   $$x\in (-3,1)$$

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i porządkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 3(2x^2+1)<11x\\ & 6x^2+3-11x<0\\ & 6x^2-11x+3<0\end{array}$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $6x^2-11x+3$:
   $$\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 6\cdot 3=121-72=49$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{11-7}{12}=\frac{1}{3},x_2=\frac{11+7}{12}=\frac{3}{2}$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy argumentów, dla których wartości funkcji są ujemne (bo mamy znak $<0$) – to przedział między miejscami zerowymi:
   
   $$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{3}{2}\right)$$