Zbiór zadań

Znaleziono 158 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Punkt $F$ jest środkiem boku $CD$, a punkt $E$ jest środkiem boku $BC$, więc kąt $FCE$ jest kątem prostym (kątem prostokąta) – trójkąt $FCE$ jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka $FC$:
   $$\begin{array}{rl}& F{C}^2+E{C}^2=E{F}^2\\ & F{C}^2=10^2-6^2=100-36=64\\ & FC=8\text{cm}\end{array}$$
2. Punkt $F$ jest środkiem $CD$, więc bok $CD$ jest dwa razy dłuższy od $FC$, a punkt $E$ jest środkiem $BC$, więc bok $BC$ jest dwa razy dłuższy od $EC$:
   $$\begin{array}{rl}& CD=2\cdot FC=2\cdot 8=16\text{cm}\\ & BC=2\cdot EC=2\cdot 6=12\text{cm}\end{array}$$
3. Obliczamy obwód prostokąta $ABCD$:
   $$2\cdot (BC+CD)=2\cdot (12+16)=56\text{cm}$$
4. Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy $56$ cm – to odpowiedź B.

1. Rysunek ma symetrię względem poziomej osi przechodzącej przez środek prostokąta - górna i dolna połowa są swoim lustrzanym odbiciem. Lewy trójkąt ma za podstawę lewy bok prostokąta, a jego trzeci wierzchołek leży na tej osi symetrii.
2. Górny i dolny róg lewego boku są symetryczne względem osi, więc oba ramiona lewego trójkąta (odcinki łączące trzeci wierzchołek z tymi rogami) mają równą długość. Z tego samego powodu równoramienny jest też trójkąt po prawej stronie. Zdanie pierwsze jest prawdziwe (P).
3. Ramię trójkąta dzieli kąt prosty przy rogu prostokąta na dwie części: kąt trójkąta i sąsiedni kąt ostry trapezu. Te dwa kąty sumują się do kąta prostego.
   $$\text{kąt troˊjkąta}+\text{kąt ostry trapezu}=90^{\circ }$$
4. Jeśli kąt ostry trapezu ma miarę $30°$, to kąt trójkąta przy tym samym rogu jest równy
   $$90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$$
5. Z symetrii trapezów tak samo wygląda to przy drugim rogu tego boku, więc oba kąty przy podstawie trójkąta mają po $60°$. Trzeci kąt trójkąta uzupełnia sumę kątów w trójkącie do $180°$.
   $$180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$$
6. Wszystkie trzy kąty trójkąta mają miarę $60°$, więc trójkąt jest równoboczny. Zdanie drugie jest prawdziwe (P).

1. Z rysunku odczytujemy, że odcinek $DE$ jest prostopadły do boku $AB$ (zaznaczony kąt prosty w punkcie $E$), więc $DE$ jest wysokością równoległoboku $ABCD$ poprowadzoną z wierzchołka $D$ na podstawę $AB$.
2. Bok $DC$ równoległoboku $ABCD$ jest równoległy do $AB$ (przeciwległe boki równoległoboku są równoległe), więc $DC$ jest też prostopadły do $DE$.
3. W równoległoboku $ECFD$ bok $ED$ jest równoległy do boku $CF$. Odcinek $DC$ łączy punkt $D$ leżący na prostej $ED$ z punktem $C$ leżącym na prostej $CF$ i jest do obu prostopadły, więc $DC$ jest wysokością równoległoboku $ECFD$ opuszczoną na bok $ED$. Zdanie pierwsze jest prawdziwe (P).
4. Obliczamy pole równoległoboku $ABCD$, przyjmując za podstawę bok $AB$, a za wysokość odcinek $DE$.
   $$P_{ABCD}=|AB|\cdot |DE|$$
5. Obliczamy pole równoległoboku $ECFD$, przyjmując za podstawę bok $ED$, a za wysokość wyznaczony wcześniej odcinek $DC$.
   $$P_{ECFD}=|ED|\cdot |DC|$$
6. Bok $DC$ równoległoboku $ABCD$ ma taką samą długość jak bok $AB$ (przeciwległe boki równoległoboku są równej długości), więc oba pola są sobie równe.
   $$P_{ECFD}=|ED|\cdot |AB|=P_{ABCD}$$
7. Pola obu równoległoboków są równe. Zdanie drugie jest prawdziwe (P).

1. Sumujemy części stosunku, aby znaleźć, na ile równych części dzieli się obwód trójkąta.
   $$2+4+5=11$$
2. Obliczamy długość jednej części, dzieląc obwód przez liczbę części.
   $$33:11=3$$
3. Najkrótszy bok odpowiada $2$ częściom, więc jego długość jest równa $2\cdot 3=6$ cm (odpowiedź C).

1. Bok kwadratu $K$ ma długość $7$ cm, bo $\sqrt{49}=7$. Sprawdzamy, czy z boków figur $F_1$ ($5$ cm), $F_2$ ($3$ cm) i $F_3$ ($3$ cm i $5$ cm) da się złożyć odcinek o długości $7$ cm.
   $$\begin{array}{rl}& 5+3=8\\ & 3+3=6\\ & 5+5=10\end{array}$$
2. Żadna suma długości boków tych figur nie daje $7$ cm, więc mimo że pola figur sumują się do $49{\text{cm}}^2$, nie da się z nich ułożyć kwadratu $K$ bez rozcinania. Odpowiedź: B, uzasadnienie 3.

1. Trójkąt $ACD$ jest równoboczny (boki $CD$ i $DA$ są równe, a trzeci bok $AC$ dopełnia go do równoboczności), więc wszystkie jego kąty mają miarę $60°$, a boki $AC$, $CD$, $DA$ są równej długości.
2. Kąt $BCD$ jest sumą kątów $BCA$ i $ACD$, więc obliczamy kąt $BCA$:
   $$\begin{array}{rl}& \angle BCA+\angle ACD=\angle BCD\\ & \angle BCA+60°=131°\\ & \angle BCA=71°\end{array}$$
3. Bok $AB$ ma tę samą długość co $DA$, a $DA$ jest równe $AC$ (z równoboczności trójkąta $ACD$), więc $AB=AC$ i trójkąt $ABC$ jest równoramienny z podstawą $BC$. Kąty przy podstawie są równe: $\angle ABC=\angle ACB=71°$. Zdanie „Kąt $ABC$ ma miarę $60°$" jest więc fałszywe.
4. Z sumy kątów w trójkącie $ABC$ obliczamy kąt $BAC$:
   $$\angle BAC=180°-71°-71°=38°$$
5. Kąt $DAB$ jest sumą kątów $DAC$ i $CAB$:
   $$\angle DAB=\angle DAC+\angle CAB=60°+38°=98°$$
6. Zdanie „Kąt $DAB$ ma miarę $98°$" jest prawdziwe. Odpowiedź: FP.

1. Pole rombu możemy obliczyć na dwa sposoby: przez bok i kąt między bokami ($P=a^2\sin \alpha$) oraz przez przekątne ($P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$). Przyrównujemy oba wzory, aby wyznaczyć iloczyn przekątnych:
   $$d_1\cdot d_2=2a^2\sin \alpha$$
2. Podstawiamy $a=6\sqrt{2}$ oraz $\alpha =150°$, korzystając z $\sin 150°=\sin 30°=\frac{1}{2}$:

1. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa $k$:
   $$k^2=\frac{P_{T_2}}{P_{T_1}}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$$
2. Wyznaczamy skalę podobieństwa (dodatnią, bo to stosunek długości):
   $$k=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$
3. Obwody figur podobnych skalują się jak $k$ (nie jak $k^2$):
   $$Obw(T_2)=k\cdot Obw(T_1)=\frac{1}{2}\cdot 36=18$$