W czworokącie ABCD boki AB, CD i DA mają… - Egzamin ósmoklasisty maj 2023, zadanie 15, rozwiązanie

Zadanie 15 - Egzamin ósmoklasisty 2023 (maj) - Rozwiązanie

1 pkt

W czworokącie

A B C D

boki

A B

C D

D A

mają równe długości, a kąt

B C D

ma miarę

131°

. Przekątna

A C

dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i na trójkąt równoramienny (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Kąt $A B C$ ma miarę $60°$ .	P	F
Kąt $D A B$ ma miarę $98°$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Trójkąt $A C D$ jest równoboczny (boki $C D$ i $D A$ są równe, a trzeci bok $A C$ dopełnia go do równoboczności), więc wszystkie jego kąty mają miarę $60°$ , a boki $A C$ , $C D$ , $D A$ są równej długości.
Kąt $B C D$ jest sumą kątów $B C A$ i $A C D$ , więc obliczamy kąt $B C A$ :
$∠ B C A + ∠ A C D = ∠ B C D ∠ B C A + 60° = 131° ∠ B C A = 71°$
Bok $A B$ ma tę samą długość co $D A$ , a $D A$ jest równe $A C$ (z równoboczności trójkąta $A C D$ ), więc $A B = A C$ i trójkąt $A B C$ jest równoramienny z podstawą $B C$ . Kąty przy podstawie są równe: $∠ A B C = ∠ A C B = 71°$ . Zdanie „Kąt $A B C$ ma miarę $60°$ " jest więc fałszywe.
Z sumy kątów w trójkącie $A B C$ obliczamy kąt $B A C$ :
$∠ B A C = 180° - 71° - 71° = 38°$
Kąt $D A B$ jest sumą kątów $D A C$ i $C A B$ :
$∠ D A B = ∠ D A C + ∠ C A B = 60° + 38° = 98°$
Zdanie „Kąt $D A B$ ma miarę $98°$ " jest prawdziwe. Odpowiedź: FP.

Zadanie 15 - Egzamin ósmoklasisty 2023 (maj) - Rozwiązanie

Podobne zadania z działu planimetria