Zbiór zadań

Znaleziono 158 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy długość boku $AC$ z twierdzenia cosinusów:
   $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60°=11^2+12^2-2\cdot 11\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=133$$
2. Stąd $AC=\sqrt{133}\approx 11,5$. Żadne dwa boki trójkąta nie są sobie równe ($11$, $12$, $\sqrt{133}$), więc trójkąt $ABC$ nie jest równoramienny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Obliczamy pole trójkąta ze wzoru $P=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin \angle ABC$:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 12\cdot \sin 60°=66\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=33\sqrt{3}$$
4. Pole rzeczywiście jest równe $33\sqrt{3}$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Kąt wpisany $BDA$ jest oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt środkowy $BSA$, więc kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego:
   $$\angle BSA=2\cdot \angle BDA=2\cdot 40^{\circ }=80^{\circ }$$
2. Kąt $80^{\circ }$ jest kątem ostrym, więc to szukana odpowiedź.

1. Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180°$.
   $$\alpha +\beta +\gamma =180°$$
2. Z warunku $\alpha +\beta =130°$ obliczamy kąt $\gamma$.
   $$\gamma =180°-130°=50°$$
3. Z warunku $\alpha +\gamma =120°$ obliczamy kąt $\beta$.
   $$\beta =180°-120°=60°$$
4. Kąt $\alpha$ obliczamy, odejmując od $180°$ obliczone kąty $\beta$ i $\gamma$.
   $$\alpha =180°-\beta -\gamma =180°-60°-50°=70°$$
5. Kąt $\alpha$ rzeczywiście ma miarę $70°$ – pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
6. Kąty trójkąta to $\alpha =70°$, $\beta =60°$, $\gamma =50°$. Największy z nich to $70°$, a najmniejszy to $50°$.
   $$70°-50°=20°$$
7. Różnica wynosi $20°$ – drugie zdanie jest również prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

1. Bok $EF$ prostokąta $EBCF$ jest jednocześnie bokiem kwadratu $AEFD$ – oznaczmy jego długość przez $a$. Prostokąt $EBCF$ ma boki $EB=10$ cm oraz $BC=EF=a$.
   $$2\cdot (10+a)=36$$
2. Rozwiązujemy równanie i wyznaczamy $a$.
   $$\begin{array}{rl}& 10+a=18\\ & a=8\end{array}$$
3. Pole kwadratu $AEFD$ o boku $a=8$ cm jest równe:
   $$a^2=8^2=64{\text{cm}}^2$$

1. Pole rombu obliczamy ze wzoru z iloczynem przekątnych.
   $$P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$$
2. Podstawiamy długości przekątnych $24$ cm i $18$ cm.
   $$P=\frac{24\cdot 18}{2}=\frac{432}{2}=216{\text{cm}}^2$$

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $s$ – długość boku trzech jednakowych małych kwadratów w prawym dolnym rzędzie,
   • $p$ – długość boku dwóch jednakowych kwadratów w lewej kolumnie (na górze i na dole),
   • $c$ – długość boku dużego kwadratu w prawym górnym rogu.
2. Trzy małe kwadraty stoją w rzędzie obok siebie i razem mają taką samą szerokość jak duży kwadrat leżący nad nimi, więc:
   $$c=3s$$
3. Lewa kolumna to dwa jednakowe kwadraty o boku $p$ ustawione jeden nad drugim, więc ich łączna wysokość jest równa wysokości $b$ całego prostokąta. Ta sama wysokość po prawej stronie to suma boku dużego kwadratu i boku małego kwadratu:
   $$\begin{array}{rl}& b=2p\\ & b=c+s\end{array}$$
4. Podstawiamy $c=3s$ do drugiego równania i wyznaczamy $p$:
   $$\begin{array}{rl}& b=3s+s=4s\\ & 2p=4s\\ & p=2s\end{array}$$
5. Szerokość $a$ całego prostokąta to szerokość lewej kolumny plus szerokość dużego kwadratu:
   $$a=p+c=2s+3s=5s$$
6. Obliczamy stosunek boków:
   $$a:b=5s:4s=5:4$$