Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 5

3 pkt

Dany jest czworokąt wypukły

A B C D

. Przekątne

A C

oraz

B D

tego czworokąta przecinają się w punkcie

S

.
Wykaż, że jeżeli

\frac{∣ A S ∣}{∣ D S ∣} = \frac{∣ B S ∣}{∣ C S ∣}

, to na czworokącie

A B C D

można opisać okrąg.

Na czworokącie

A B C D

można opisać okrąg.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Kąty $A S D$ i $B S C$ są wierzchołkowe, więc są równe. Z założenia $\frac{∣ A S ∣}{∣ D S ∣} = \frac{∣ B S ∣}{∣ C S ∣}$ . Dwa boki są proporcjonalne i kąty między nimi są równe, więc trójkąty $A S D$ i $B S C$ są podobne (cecha bkb). Stąd odpowiednie kąty są równe.

Zadanie 8 Planimetria

4 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta

A B C

jest dwa razy większa od miary kąta

B A C

.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Planimetria

1 pkt

Prostokąt

A B C D

podzielono prostą

E F

na kwadrat

A E F D

i prostokąt

E B C F

(zobacz rysunek). Obwód prostokąta

E B C F

jest równy

36

cm, a długość boku

E B

jest równa

10

cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu

A E F D

jest równe

Zadanie 9 Planimetria

4 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

E

jest środkiem boku

C D

. Przekątna

B D

dzieli trójkąt

A C E

na dwie figury:

A GF

oraz

C E F G

(zobacz rysunek).

Oblicz pola figur

A GF

oraz

C E F G

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono proste

a

,

b

,

c

,

d

,

e

oraz zaznaczono miary niektórych kątów. Proste

a

,

b

,

c

są wzajemnie równoległe. Proste

d

i

e

są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie

A

leżącym na prostej

b

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta

α

jest równa

Zadanie 11 Planimetria

1 pkt

Dany jest romb, którego przekątne mają długość

24

cm i

18

cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego rombu jest równe

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty:

A B C

i

K L M

, podano długości boków

A C

i

K L

oraz zaznaczono miary niektórych kątów.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $K L M$ nie jest równoramienny.
Trójkąty $A B C$ i $K L M$ są przystające.

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości

a

i

b

podzielony na sześć kwadratów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek długości boków

a : b

tego prostokąta jest równy

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono kwadrat podzielony na

6

jednakowych prostokątów. Obwód każdego z tych prostokątów jest równy

28

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu jest równy

Zadanie 13 Planimetria

4 pkt

Promień okręgu opisanego na trójkącie

A B C

jest równy

17

. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok

A C

, a długości dwóch pozostałych boków są równe

∣ A B ∣ = 30

oraz

∣ B C ∣ = 17

. Oblicz miarę kąta

B A C

oraz długość boku

A C

tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Planimetria

1 pkt

W trójkącie prostokątnym

A B C

przyprostokątną

A C

wydłużono o

7

cm, a przyprostokątną

A B

wydłużono o

12

cm i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny

A D E

o polu równym

200

cm

^{2}

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Przyprostokątna trójkąta $A D E$ jest równa $20$ cm.
Pole trójkąta $A B C$ jest równe $52$ cm $^{2}$ .

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Dany jest okrąg

O

, którego średnica ma długość

20

cm. Odcinek

A B

ma długość

12

cm i jest cięciwą tego okręgu. Punkty

A

i

B

połączono z punktem

S

, który jest środkiem tego okręgu.

Zadanie 15.1 Planimetria

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość

10

. Niech

x

oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

a) Wykaż, że pole

P

trapezu jako funkcja długości

x

odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem

P (x) = x \cdot 100 - x^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 17 Planimetria

3 pkt

Prostokąt

A B C D

podzielono na trzy trójkąty:

A E D

,

A C E

,

A B C

(zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta

A E D

oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta

A C E

, o takiej samej mierze

α

.

Oblicz pole trapezu

A B C E

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 18 Planimetria

3 pkt

Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny

A B C D

, w którym

∣ A D ∣ = ∣ B C ∣ = 13

cm. Wysokość

D E

oraz krótsza podstawa

C D

mają długość po

12

cm.

Oblicz pole trapezu

A B C D

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Obwód trójkąta $A S B$ jest równy $36$ cm.
Długość okręgu $O$ jest równa $20 π$ cm.

Zbiór zadań

Wyniki