W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątną… - Egzamin ósmoklasisty maj 2024, zadanie 14, rozwiązanie

Zadanie 14 - Egzamin ósmoklasisty 2024 (maj) - Rozwiązanie

1 pkt

W trójkącie prostokątnym

A B C

przyprostokątną

A C

wydłużono o

7

cm, a przyprostokątną

A B

wydłużono o

12

cm i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny

A D E

o polu równym

200

^{2}

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Przyprostokątna trójkąta $A D E$ jest równa $20$ cm.	P	F
Pole trójkąta $A B C$ jest równe $52$ cm $^{2}$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Trójkąt $A D E$ jest prostokątny i równoramienny, a kąt prosty leży w wierzchołku $A$ (tak samo jak w trójkącie $A B C$ ), więc przyprostokątne $A E$ i $A D$ mają równą długość. Oznaczmy tę długość przez $x$ .
Korzystamy z pola trójkąta $A D E$ :
$\frac{1}{2} x^{2} = 200 x^{2} = 400 x = 20$
Przyprostokątna trójkąta $A D E$ jest równa $20$ cm, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
Bok $A E$ powstał z wydłużenia boku $A C$ o $7$ cm, a bok $A D$ z wydłużenia boku $A B$ o $12$ cm, więc:
$A C = A E - 7 = 20 - 7 = 13 A B = A D - 12 = 20 - 12 = 8$
Obliczamy pole trójkąta $A B C$ :
$\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 13 = 52$
Pole trójkąta $A B C$ jest równe $52$ cm $^{2}$ , więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

Zadanie 14 - Egzamin ósmoklasisty 2024 (maj) - Rozwiązanie