Zbiór zadań

Znaleziono 56 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Podstawiamy do wzoru dane $m_0=200$ oraz $t=12$:
   $$m(12)=200\cdot (0,6{)}^{0,25\cdot 12}=200\cdot (0,6{)}^3$$
2. Obliczamy wartość potęgi i mnożymy:
   $$200\cdot (0,6{)}^3=200\cdot 0,216=43,2$$
3. Po $12$ godzinach w organizmie chorego pozostanie więc $43,2$ mg leku.

1. Upraszczamy $\sqrt{8}$, rozkładając liczbę pod pierwiastkiem:
   $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$$
2. Podstawiamy do wyrażenia w nawiasie i wykonujemy odejmowanie:
   $$2\sqrt{8}-3\sqrt{2}=2\cdot 2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$$
3. Podnosimy otrzymany wynik do kwadratu:
   $${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$$

1. Zapisujemy $8$ jako potęgę liczby $2$:
   $$8^{-40}=(2^3{)}^{-40}=2^{-120}$$
2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, czyli odejmujemy wykładniki:
   $$\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}$$

1. Zapisujemy iloczyn pod nawiasem, dodając wykładniki:
   $$5\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{1+\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}$$
2. Podnosimy do potęgi $\frac{1}{3}$, mnożąc wykładniki:
   $${\left(5^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$$

1. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:
   $${\left(5-2\sqrt{3}\right)}^2=5^2-2\cdot 5\cdot 2\sqrt{3}+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$$
2. Obliczamy poszczególne składniki i upraszczamy:
   $$25-20\sqrt{3}+4\cdot 3=25-20\sqrt{3}+12=37-20\sqrt{3}$$

1. Korzystamy ze wzoru na potęgę o wykładniku będącym sumą: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:
   $$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot 3^{\frac{1}{4}}$$
2. Potęgę o wykładniku $\frac{1}{4}$ zapisujemy jako pierwiastek czwartego stopnia:
   $$3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$$
3. Zatem:
   $$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot \sqrt[4]{3}$$

1. Zamieniamy $100$ na potęgę o podstawie $10$:
   $$100^5=(10^2{)}^5=10^{10}$$
2. Zamieniamy $0,1$ na potęgę o podstawie $10$:
   $$(0,1{)}^{-6}=(10^{-1}{)}^{-6}=10^6$$
3. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:
   $$10^{10}\cdot 10^6=10^{16}$$

1. Zapisujemy liczbę $9$ jako potęgę liczby $3$: $9=3^2$.
2. Podstawiamy i stosujemy prawa działań na potęgach:
   $$\begin{array}{rl}& 9^{-10}\cdot 3^{19}=(3^2{)}^{-10}\cdot 3^{19}\\ & =3^{-20}\cdot 3^{19}\\ & =3^{-20+19}=3^{-1}\end{array}$$

1. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, gdzie $a=\sqrt{3}-1$ i $b=\sqrt{3}+1$:
   $${\left(\sqrt{3}-1\right)}^2-{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2=\left(\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(\sqrt{3}+1\right)\right)\cdot \left(\left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\right)$$
2. Upraszczamy oba czynniki:
   $$\begin{array}{rl}& \left(\sqrt{3}-1\right)-\left(\sqrt{3}+1\right)=-2\\ & \left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)=2\sqrt{3}\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane czynniki:
   $$-2\cdot 2\sqrt{3}=-4\sqrt{3}$$
4. Podnosimy wynik do sześcianu:
   $${\left(-4\sqrt{3}\right)}^3=-64\cdot 3\sqrt{3}=-192\sqrt{3}$$