Zbiór zadań

Znaleziono 43 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Liczbę $x$ powiększamy o $7$, co zapisujemy jako $x+7$, a następnie ten wynik zwiększamy $4$-krotnie, czyli mnożymy CAŁE wyrażenie przez $4$ – dlatego potrzebny jest nawias:
   $$4(x+7)$$
2. Liczbę $y$ zwiększamy $5$-krotnie, czyli mnożymy przez $5$, a dopiero do otrzymanego wyniku dodajemy $3$:
   $$5y+3$$
3. Poprawna para wyrażeń to $4(x+7)$ oraz $5y+3$ – to odpowiedź A.

1. Z warunku $2x=3y$ wyznaczamy $x$ w zależności od $y$:
   $$x=\frac{3}{2}y$$
2. Podstawiamy do licznika i mianownika wyrażenia:
   $$\begin{array}{rl}& x^2+y^2={\left(\frac{3}{2}y\right)}^2+y^2=\frac{9}{4}{y}^2+y^2=\frac{13}{4}{y}^2\\ & x\cdot y=\frac{3}{2}y\cdot y=\frac{3}{2}{y}^2\end{array}$$
3. Dzielimy licznik przez mianownik (upraszczamy $y^2$, bo $y>0$):
   $$\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}=\frac{\frac{13}{4}{y}^2}{\frac{3}{2}{y}^2}=\frac{13}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{13}{6}$$

1. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $(x-y)(x+y)$:
   $$\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}=\frac{(x+y)+(x-y)}{(x-y)(x+y)}$$
2. Upraszczamy licznik i mianownik korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^2-b^2$:
   $$\frac{(x+y)+(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{2x}{x^2-y^2}$$

1. Grupujemy wyrazy wielomianu:
   $$x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2)$$
2. Wyłączamy wspólny czynnik $(x-2)$ przed nawias:
   $$=(x-2)(x^2-3)$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.
2. Podstawiamy $a=3x$ oraz $b=8y$:
   $$\begin{array}{rl}& (3x+8y{)}^2=(3x{)}^2+2\cdot 3x\cdot 8y+(8y{)}^2\\ & =9x^2+48xy+64y^2\end{array}$$

1. Wykonaj dzielenie wielomianu $5x^3-7x^2-4x-4$ przez dwumian $x-2$ metodą Hornera: wypisz kolejne współczynniki wielomianu ($5,-7,-4,-4$) i dziel przez pierwiastek $x=2$.
   $$\begin{array}{rl}& a=5\\ & b=-7+2\cdot 5=3\\ & c=-4+2\cdot 3=2\\ & r=-4+2\cdot 2=0\end{array}$$
2. Reszta z dzielenia $r$ wynosi $0$, więc dzielenie jest wykonane bez reszty, a otrzymany trójmian kwadratowy to $5x^2+3x+2$. Zatem $a=5$, $b=3$, $c=2$.

1. Skorzystaj z twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$: reszta z tego dzielenia jest równa $W(a)$.
2. Oblicz $W(1)$.
   $$W(1)=1^{2019}-3\cdot 1^{2000}+2\cdot 1+6=1-3+2+6=6$$
3. Oblicz $W(-1)$.
   $$W(-1)=(-1{)}^{2019}-3\cdot (-1{)}^{2000}+2\cdot (-1)+6=-1-3-2+6=0$$
4. Skoro $W(-1)=0$, wielomian jest podzielny przez $(x+1)$. Skoro $W(1)=6\ne 0$, wielomian nie jest podzielny przez $(x-1)$, a reszta z tego dzielenia jest równa $6$.

1. Wielomian $W(x)$ jest podzielny bez reszty przez dwumian $x-a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest pierwiastkiem tego wielomianu (twierdzenie Bézouta). Sprawdzamy, czy $x=2$ jest pierwiastkiem $W$.
   $$W(2)=2^3-2^2-2-2=8-4-2-2=0$$
2. Ponieważ $W(2)=0$, liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$, więc wielomian $W(x)$ jest podzielny bez reszty przez wielomian $x-2$.

1. Rozwiń wyrażenie za pomocą dwumianu Newtona dla $n=4$.
   $${\left(x\sqrt{2}+y\sqrt{3}\right)}^4={\sum }_{k=0}^4\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right){\left(x\sqrt{2}\right)}^{4-k}{\left(y\sqrt{3}\right)}^k$$
2. Współczynnik przy $x^2{y}^2$ odpowiada wyrazowi dla $k=2$. Wyznacz ten składnik.
   $$\begin{array}{rl}& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right){\left(x\sqrt{2}\right)}^2{\left(y\sqrt{3}\right)}^2=6\cdot 2x^2\cdot 3y^2\\ & =36x^2{y}^2\end{array}$$
3. Zatem współczynnik $c$ jest równy $36$.