Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 3

7 pkt

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności

144 m^{3}

. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać

9

metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

$100$ zł za $1 m^{2}$ dna
$75$ zł za $1 m^{2}$ ściany bocznej

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

x = 6, h = 4

(wymiary zbiornika:

6 m \times 6 m \times 4 m

)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenia:
- $x$ - długość krawędzi podstawy zbiornika (w metrach)
- $h$ - wysokość zbiornika (w metrach)

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

o przeciwprostokątnej

A B

i obwodzie równym

4

. Niech

x = ∣ A C ∣

.

a) Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

jako funkcja zmiennej

x

jest określone wzorem

P (x) = \frac{x ( 4 - 2 x )}{4 - x}

b) Wyznacz dziedzinę funkcji

P

.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Pochodne

6 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołki

A

i

B

leżą na wykresie funkcji

f

określonej wzorem

f (x) = \frac{9}{x ^{4}}

dla

x \neq = 0

. Punkt

C

ma współrzędne

(0, - \frac{1}{3})

, a punkty

A

i

B

są położone symetrycznie względem osi

O y

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne wierzchołków

A

i

B

, dla których pole trójkąta

A B C

jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Pochodne

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1}

dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

.

Pochodna

f^{'}

tej funkcji jest określona wzorem

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe

0, 5

cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe

0, 3

cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem czerwonym). Sam ekran ma mieć powierzchnię

60 cm^{2}

. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Pochodne

2 pkt

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f (x) = \frac{25 x ^{2} - 9}{x ^{2} + 2}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Oblicz wartość

f^{'} (10)

pochodnej tej funkcji dla argumentu

10

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Pochodne

2 pkt

Punkt

P = (10, 2429)

leży na paraboli o równaniu

y = 2 x^{2} + x + 2219

. Prosta o równaniu kierunkowym

y = a x + b

jest styczna do tej paraboli w punkcie

P

. Oblicz współczynnik

b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Dany jest okrąg o środku

S

i promieniu

18

. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku

S_{1}

i promieniu

x

oraz drugi o środku

S_{2}

i promieniu

2 x

, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu $18$ ;
punkty: $S$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach

a

,

b

,

c

można obliczyć ze wzoru Herona

P = p (p - a) (p - b) (p - c)

, gdzie

p

- jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta

S S_{1} S_{2}

jako funkcję zmiennej

x

. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

V = 2

. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Pochodne

2 pkt

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}

, określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

, poprowadzonej w punkcie

A = (6, \frac{36}{5})

tego wykresu.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Pochodne

3 pkt

Styczna do paraboli o równaniu

y = 3 x^{2} - 1

w punkcie

P = (x_{0}, y_{0})

jest nachylona do osi

O x

pod kątem

30°

. Oblicz współrzędne punktu

P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Pochodne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

a) Wyznacz objętość

V

drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej

x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Pochodne

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji

V

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

c) Oblicz tę wartość

x

, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja

V

osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki