Zadanie 7, matura rozszerzona maj 2019

2 pkt

Punkt

P = (10, 2429)

leży na paraboli o równaniu

y = 2 x^{2} + x + 2219

. Prosta o równaniu kierunkowym

y = a x + b

jest styczna do tej paraboli w punkcie

P

. Oblicz współczynnik

b

Poprawna odpowiedź

b = 2019

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Parabolę opisuje funkcja $f (x) = 2 x^{2} + x + 2219$ . Równanie stycznej do wykresu w punkcie $P = (x_{0}, f (x_{0}))$ ma postać:
$y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
Z danych zadania wynika, że $x_{0} = 10$ oraz $f (x_{0}) = f (10) = 2429$ . Obliczamy pochodną funkcji $f$ i jej wartość dla argumentu $10$ .
$f^{'} (x) = 4 x + 1 f^{'} (10) = 4 \cdot 10 + 1 = 41$
Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej w punkcie styczności, więc $a = f^{'} (10) = 41$ . Wstawiamy dane do równania stycznej i wyznaczamy $b$ .
$y - 2429 = 41 (x - 10) y = 41 x + 2019$
Zatem $b = 2019$ .

Podobne zadania z działu pochodne