Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 10

1 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony w następujący sposób:

a_{1} = \frac{3}{5}

oraz

a_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot a_{n}

dla

n ⩾ 1

. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

D.

\frac{9}{5}

1
Z zależności $a_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot a_{n}$ odczytujemy iloraz ciągu: $q = \frac{2}{3}$ . Ponieważ $∣ q ∣ < 1$ , suma wszystkich wyrazów istnieje.

Zadanie 4 Ciągi

5 pkt

Ciąg

(a, b, c)

jest geometryczny, ciąg

(a + 1, b + 5, c)

jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz

a + b + c = 39

. Oblicz

a, b, c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Ciągi

1 pkt

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla liczb naturalnych

n \geq 1

, o wyrazach dodatnich. Jeśli

a_{2} + a_{9} = a_{4} + a_{k}

, to

k

jest równe

Zadanie 10 Ciągi

1 pkt

W ciągu

(a_{n})

określonym dla każdej liczby

n \geq 1

jest spełniony warunek

a_{n + 3} = - 2 \cdot 3^{n + 1}

. Wtedy

Zadanie 11 Ciągi

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla

n \geq 1

, dane są dwa wyrazy:

a_{1} = 7

i

a_{8} = - 49

. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 11 Ciągi

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla

n \geq 1

, dane są dwa wyrazy:

a_{1} = - 11

i

a_{9} = 5

. Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 12 Ciągi

6 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(a, b, c)

o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg

(\frac{1}{a}, \frac{2}{3 b}, \frac{1}{2 a + 2 b + c})

jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Ciągi

1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy

162

, a piąty wyraz jest równy

48

. Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy

Zadanie 12 Ciągi

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek

\frac{a _{5}}{a _{3}} = \frac{1}{9}

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zadanie 30 Ciągi

2 pkt

W ciągu geometrycznym przez

S_{n}

oznaczamy sumę

n

początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych

n \geq 1

. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:

S_{1} = 2

i

S_{2} = 12

. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Ciągi

4 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Różnicą tego ciągu jest liczba

r = - 4

, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu:

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}

, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę

k

, dla której

a_{k} = - 78

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Ciągi

4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{39}, a_{40})

suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa

1340

, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa

1400

. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Ciągi

5 pkt

Liczby

a

,

b

,

c

, spełniające warunek

3 a + b + 3 c = 77

, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg

(a, b + 1, 2 c)

jest geometryczny. Wyznacz liczby

a

,

b

,

c

oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

4 pkt

Dany jest rosnący ciąg geometryczny

(a, a q, a q^{2})

, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz

a q

tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Ciągi

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{5 - 2 n}{6}

dla

n \geq 1

. Ciąg ten jest

Zbiór zadań

Wyniki