Przejdź do treści

Matemator.plMatura · Egzamin ósmoklasisty

Start Zbiór zadań Nauka

Nauka ✎ Rozwiązuj online Wygeneruj zestaw Zbiór zadań Działy Artykuły Premium

Matura podstawowa

maj
majF. 2015
marzec
czerwiec
czerwiecF. 2015

maj
majF. 2015
czerwiec
czerwiecF. 2015
sierpień
sierpieńF. 2015

maj
majF. 2015
czerwiec
czerwiecF. 2015
sierpień
sierpieńF. 2015
grudzień

maj
majF. 2015
czerwiec
czerwiecF. 2015
sierpień
sierpieńF. 2015
grudzień

maj
czerwiec
sierpień
wrzesień
grudzień

maj
marzec
czerwiec
sierpień

kwiecień
czerwiec
czerwiecF. 2005
lipiec
wrzesień

maj
majF. 2005
czerwiec
sierpień

maj
majF. 2005
czerwiec
sierpień

Matura rozszerzona

maj
majF. 2015
czerwiec
czerwiecF. 2015

maj
majF. 2015
czerwiec
czerwiecF. 2015

maj
majF. 2015
czerwiec
czerwiecF. 2015
grudzień

maj
majF. 2015
czerwiec
czerwiecF. 2015

maj
marzec
czerwiec
grudzień

maj
marzec
czerwiec

kwiecień
czerwiec
czerwiecF. 2005
lipiec

maj
majF. 2005
czerwiec

maj
majF. 2005
czerwiec

maj
majF. 2005
czerwiec

czerwiec

maj
styczeń
czerwiec

maj
czerwiec

maj
czerwiec
grudzień

maj
czerwiec

maj
czerwiec

maj
marzec
czerwiec

marzec
czerwiec
lipiec

kwiecień
czerwiec

grudzień

grudzień

Wzory

Zbiór zadań

Wszystkie zadania dostępne na stronie z rozwiązaniami. Dopasuj filtry aby znaleźć to czego szukasz.

Przejdź do zadań

Egzamin

Trudność

Formuła matury

Temat

Typ zadania

Wyniki

© 2026 Matemator.pl

Artykuły Narzędzia Regulamin Polityka prywatności Kontakt

Egzamin

Trudność

Formuła matury

Temat

Typ zadania

Znaleziono 14 zadań

Zadanie 3 Wartość bezwzględnaPR cze 2025 (F. 2015)Matura rozszerzona czerwiec 2025 (F. 2015)

1 pkt

Zbiorem wszystkich wartości

m

, dla których równanie

∣ x^{2} - x ∣ = m

z niewiadomą

x

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste, jest

D.

{0} \cup (\frac{1}{4}, + \infty)

1
Wykres funkcji $y = x^{2} - x$ to parabola o miejscach zerowych $0$ i $1$ i wierzchołku $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$ . Wykres $y = ∣ x^{2} - x ∣$ powstaje przez odbicie części pod osią $x$ do góry, więc część odbita ma wierzchołek $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ .

Zadanie 5 Wartość bezwzględnaPR maj 2025Matura rozszerzona maj 2025

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ - 2 \cdot ∣ x + 3∣ < - 2

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Wartość bezwzględnaPR maj 2024 (F. 2015)Matura rozszerzona maj 2024 (F. 2015)

1 pkt

Równanie

∣2 x - 4∣ = 3 x + 1

w zbiorze liczb rzeczywistych

Zadanie 6 Wartość bezwzględnaPR gru 2024Matura rozszerzona grudzień 2024

4 pkt

Rozwiąż równanie

∣4 x - 8∣ + ∣ x - 2∣ = ∣2 - x ∣ + ∣ x + 2∣ + 4

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Wartość bezwzględnaPR maj 2023Matura rozszerzona maj 2023

4 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 < \frac{25}{3} - x^{2} - 6 x + 9

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: skorzystaj z tego, że

a^{2} = ∣ a ∣

dla każdej liczby rzeczywistej

a

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Wartość bezwzględnaPR maj 2022Matura rozszerzona maj 2022

3 pkt

Rozwiąż równanie:

∣ x - 3∣ = 2 x + 11

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Wartość bezwzględnaPR maj 2021Matura rozszerzona maj 2021

1 pkt

Liczba różnych pierwiastków równania

3 x + ∣ x - 4∣ = 0

jest równa

Zadanie 6 Wartość bezwzględnaPR cze 2020Matura rozszerzona czerwiec 2020

3 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

∣ x - 5∣ = (a - 1)^{2} - 4

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Wartość bezwzględnaPR maj 2019 (F. 2005)Matura rozszerzona maj 2019 (F. 2005)

5 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{∣ x + 2∣}{x + 2} - x + 3∣ x - 1∣

, dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = - 2

. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Wartość bezwzględnaPR maj 2018 (F. 2005)Matura rozszerzona maj 2018 (F. 2005)

4 pkt

Rozwiąż równanie

3∣ x + 2∣ = ∣ x - 3∣ + 11

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Wartość bezwzględnaPR maj 2018Matura rozszerzona maj 2018

1 pkt

Równanie

∣ x ∣ - 2 = ∣ x ∣ + 2

Zadanie 4 Wartość bezwzględnaPR cze 2018Matura rozszerzona czerwiec 2018

1 pkt

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Zadanie 1 Wartość bezwzględnaPR cze 2017Matura rozszerzona czerwiec 2017

1 pkt

Równanie

∣ ∣ x - 4∣ - 2 ∣ = 2

ma dokładnie

Zadanie 1 Wartość bezwzględnaPR maj 2017 (F. 2005)Matura rozszerzona maj 2017 (F. 2005)

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 1∣ + ∣ x - 5∣ \leq 10 - 2 x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, + \infty)

1
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną: $x = 2$ oraz $x = - 3$ . Dzielą one zbiór liczb rzeczywistych na trzy przedziały: $(- \infty, - 3)$ , $[- 3, 2)$ , $[2, + \infty)$ .

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma dokładnie cztery rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

1
Wyrażenie $2 x - 4$ zmienia znak w punkcie $x = 2$ . Rozpatrujemy dwa przypadki.
2
Dla $x \geq 2$ mamy $∣2 x - 4∣ = 2 x - 4$ . Otrzymane rozwiązanie $x = - 5$ nie należy do przedziału $⟨ 2, + \infty)$ , więc w tym przypadku nie ma rozwiązań.
$2 x - 4 = 3 x + 1 - 5 = x$
3
Dla $x < 2$ mamy $∣2 x - 4∣ = - 2 x + 4$ . Otrzymane rozwiązanie $x = \frac{3}{5}$ należy do przedziału $(- \infty, 2)$ , więc jest rozwiązaniem równania.
4
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

1

lub

x = \frac{14}{3}

1
Ponieważ $∣4 x - 8∣ = 4 \cdot ∣ x - 2∣$ oraz $∣2 - x ∣ = ∣ x - 2∣$ dla każdego $x \in R$ , dane równanie można przekształcić równoważnie do postaci:
$4 \cdot ∣ x - 2∣ = ∣ x + 2∣ + 4$
2
Rozważamy trzy przedziały: $(- \infty, - 2)$ , $[- 2, 2)$ , $[2, + \infty)$ .
3
Dla $x \in (- \infty, - 2)$ równanie przyjmuje postać:
$- 4 x + 8 = - x - 2 + 4 - 3 x = - 6 x = 2$
4
Ponieważ $2 \in / (- \infty, - 2)$ , ten przypadek nie daje rozwiązania.
5
Dla $x \in [- 2, 2)$ równanie przyjmuje postać:
$- 4 x + 8 = x + 2 + 4 - 5 x = - 2 x = \frac{2}{5}$
6
Ponieważ $\frac{2}{5} \in [- 2, 2)$ , liczba $\frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem.
7
Dla $x \in [2, + \infty)$ równanie przyjmuje postać:
$4 x - 8 = x + 2 + 4 3 x = 14 x = \frac{14}{3}$
8
Ponieważ $\frac{14}{3} \in [2, + \infty)$ , liczba $\frac{14}{3}$ jest rozwiązaniem.
9
Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby $\frac{2}{5}$ oraz $\frac{14}{3}$ .

x \in (- \frac{11}{3}, \frac{14}{3})

1
Wyrażenia pod pierwiastkami zwijamy ze wzoru skróconego mnożenia, korzystamy ze wskazówki i wstawiamy wyniki do nierówności.
$x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2} = ∣ x + 2∣ x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} = ∣ x - 3∣ ∣ x + 2∣ < \frac{25}{3} - ∣ x - 3∣$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

x = - \frac{8}{3}

1
Zapisujemy równanie w każdym z przedziałów $(- \infty, 3)$ oraz $⟨ 3, + \infty)$ , opuszczając wartość bezwzględną zgodnie z jej definicją.

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

0

1

2

3

B.

1

1
Rozważamy dwa przypadki w zależności od znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną. Dla $x \geq 4$ mamy $∣ x - 4∣ = x - 4$ , więc równanie przyjmuje postać:
$3 x + x - 4 = 0 4 x = 4 x = 1$
2
Otrzymane $x = 1$ nie spełnia założenia $x \geq 4$ , więc w tym przypadku równanie nie ma rozwiązania.
3
Dla $x < 4$ mamy $∣ x - 4∣ = 4 - x$ , więc równanie przyjmuje postać:
$3 x + 4 - x = 0 2 x = - 4 x = - 2$
4
Liczba $x = - 2$ spełnia założenie $x < 4$ , więc jest rozwiązaniem równania. Łącznie równanie ma dokładnie jeden pierwiastek: $x = - 2$ .

a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)

1
Wprowadzamy pomocniczą zmienną $t = (a - 1)^{2} - 4$ . Równanie ma wtedy postać $∣ x - 5∣ = t$ . Aby miało ono dwa różne rozwiązania rzeczywiste, musi być $t > 0$ - wtedy tymi rozwiązaniami są:
$x = 5 + t x = 5 - t$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

⟨ 0, + \infty)

1
Wartości bezwzględne zmieniają znak w punktach $x = - 2$ i $x = 1$ . Wzór funkcji zapiszemy bez wartości bezwzględnej w trzech przedziałach: $(- \infty, - 2)$ , $(- 2, 1)$ oraz $⟨ 1, + \infty)$ .

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

x = - 10

lub

x = 2

1
Wyrażenia pod wartością bezwzględną zmieniają znak w punktach $- 2$ oraz $3$ . Dzielimy oś liczbową na trzy przedziały i w każdym z nich rozwiązujemy równanie bez wartości bezwzględnych.
$(- \infty, - 2), ⟨ - 2, 3 ⟩, (3, \infty)$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma dokładnie cztery rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

1
Podstawiamy $t = ∣ x ∣$ , gdzie $t \geq 0$ . Równanie przyjmuje postać:
$∣ t - 2∣ = t + 2$
2
Dla $t < 2$ mamy $∣ t - 2∣ = 2 - t$ .
$2 - t = t + 2 t = 0$
3
Dla $t \geq 2$ mamy $∣ t - 2∣ = t - 2$ .
$t - 2 = t + 2 - 2 = 2$
4
W drugim przypadku równanie jest sprzeczne. Zostaje tylko $t = 0$ , czyli $∣ x ∣ = 0$ , więc $x = 0$ . Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

\frac{4}{3} x + 5 < 2

\frac{3}{5} x + 4 < 2

\frac{4}{5} x + 3 < 2

B.

\frac{4}{3} x + 5 < 2

1
Nierówność $∣ a x + b ∣ < 2$ jest równoważna podwójnej nierówności $- 2 < a x + b < 2$ . Rozwiązujemy ją dla każdej odpowiedzi i liczymy liczby całkowite w otrzymanym przedziale. Zaczynamy od odpowiedzi A.
$- 2 < \frac{3}{4} x + 5 < 2 - 7 < \frac{3}{4} x < - 3 - \frac{28}{3} < x < - 4$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

dwa rozwiązania rzeczywiste.

jedno rozwiązanie rzeczywiste.

cztery rozwiązania rzeczywiste.

trzy rozwiązania rzeczywiste.

D. trzy rozwiązania rzeczywiste.

1
Wartość bezwzględna z wyrażenia jest równa $2$ wtedy, gdy to wyrażenie wynosi $2$ albo $- 2$ . Rozbijamy równanie na dwa.
$∣ x - 4∣ - 2 = 2 lub ∣ x - 4∣ - 2 = - 2$
2
Pierwsze równanie daje dwa rozwiązania.
$∣ x - 4∣ - 2 = 2 ∣ x - 4∣ = 4 x - 4 = 4 lub x - 4 = - 4 x = 8 lub x = 0$
3
Drugie równanie daje jedno rozwiązanie.
$∣ x - 4∣ - 2 = - 2 ∣ x - 4∣ = 0 x = 4$
4
Równanie ma trzy różne rozwiązania: $0$ , $4$ i $8$ .

x \in (- \infty, 3 ⟩

1
Wyrażenie $x - 1$ zmienia znak w $x = 1$ , a $x - 5$ w $x = 5$ . Dzielimy więc oś liczbową na trzy przedziały i w każdym opuszczamy wartości bezwzględne, zmieniając znak wyrażenia, które jest tam ujemne.

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

- 2 x + 4 = 3 x + 1 3 = 5 x x = \frac{3}{5}