Zbiór zadań

Znaleziono 21 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę o wykładniku ułamkowym:
   $${\log }_8\sqrt[5]{2}={\log }_8{2}^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}{\log }_{8}2$$
2. Ponieważ $8=2^3$, mamy ${\log }_{8}2=\frac{1}{3}$.
3. Obliczamy wynik:
   $$\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{15}$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu.
   $${\log }_{8}4-{\log }_{8}32={\log }_8\frac{4}{32}={\log }_8\frac{1}{8}$$
2. Zapisujemy $\frac{1}{8}$ jako potęgę liczby $8$ i korzystamy z definicji logarytmu.
   $${\log }_8{8}^{-1}=-1$$

1. Stosujemy wzór na logarytm ilorazu:
   $$\begin{array}{rl}& {\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}\\ & {\log }_{8}4-{\log }_{8}32={\log }_8\frac{4}{32}={\log }_8\frac{1}{8}\end{array}$$
2. Obliczamy logarytm:
   $${\log }_8\frac{1}{8}={\log }_8{8}^{-1}=-1$$

1. Stwierdzenie 1: Stosujemy wzór na logarytm potęgi $n\cdot {\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$:
   $$2\cdot {\log }_{3}5={\log }_3{5}^2={\log }_{3}25\text{(PRAWDA)}$$
2. Stwierdzenie 2: Sprawdzamy. Mamy $2={\log }_{3}9$, więc:
   $$2+{\log }_{3}5={\log }_{3}9+{\log }_{3}5={\log }_{3}45\ne {\log }_{3}10\text{(FAŁSZ)}$$

1. Stosujemy wzór na logarytm potęgi: $2{\log }_{3}2={\log }_3{2}^2={\log }_{3}4$:
   $${\log }_{3}108-{\log }_{3}4$$
2. Stosujemy wzór na logarytm ilorazu i obliczamy:
   $${\log }_{3}108-{\log }_{3}4={\log }_3\frac{108}{4}={\log }_{3}27=3$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:
   $${\log }_{3}2-{\log }_{3}18={\log }_3\frac{2}{18}={\log }_3\frac{1}{9}$$
2. Zapisujemy $\frac{1}{9}$ jako potęgę liczby $3$ i obliczamy logarytm:
   $${\log }_3\frac{1}{9}={\log }_3{3}^{-2}=-2$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu i mnożymy liczby pod logarytmem:
   $${\log }_3\left(\frac{3}{2}\right)+{\log }_3\left(\frac{2}{9}\right)={\log }_3\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{9}\right)$$
2. Skracamy ułamek pod logarytmem:
   $$\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{9}=\frac{3\cdot \bcancel{2}}{\bcancel{2}\cdot 9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$
3. Otrzymujemy logarytm z $\frac{1}{3}=3^{-1}$, więc:
   $${\log }_3\frac{1}{3}={\log }_3{3}^{-1}=-1$$

1. Zapisujemy $16=2^4$ oraz $9=3^2$, więc ${\log }_{2}16=4$, a ${\log }_{2}9=2{\log }_{2}3$:
   $${\log }_{2}16+{\log }_{2}9=4+2{\log }_{2}3$$
2. To odpowiada równości E. Korzystamy też ze wzoru na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{2}16+{\log }_{2}9={\log }_2(16\cdot 9)={\log }_{2}144$$
3. To odpowiada równości C. Prawdziwe są zatem równości oznaczone literami C i E.

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi: $6{\log }_{7}y={\log }_7{y}^6$:
   $${\log }_{7}x+6{\log }_{7}y={\log }_{7}x+{\log }_7{y}^6$$
2. Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{7}x+{\log }_7{y}^6={\log }_7(x{y}^6)$$

1. Oznaczamy $x={\log }_{\sqrt{3}}9$, czyli szukamy takiego wykładnika, aby ${\left(\sqrt{3}\right)}^x=9$. Zapisujemy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi liczby $3$:
   $$\begin{gathered} \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}},9=3^2 \\ {3}^{\frac{1}{2}x}=3^2 \end{gathered}$$
2. Skoro podstawy po obu stronach są równe, wykładniki też muszą być równe:
   $$\frac{1}{2}x=2⟹x=4$$

1. Obliczamy wartość funkcji dla $x=36$:
   $$f(36)={\log }_{6}36={\log }_6{6}^2=2$$
2. Otrzymana wartość $2$ jest różna od $6$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Podstawa logarytmu $6>1$, więc funkcja logarytmiczna $f(x)={\log }_{6}x$ jest rosnąca — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:
   $${\log }_{2}96-{\log }_{2}3={\log }_2\frac{96}{3}={\log }_{2}32$$
2. Obliczamy logarytm, szukając wykładnika potęgi $2$ równego $32$:
   $${\log }_{2}32={\log }_2{2}^5=5$$

1. Pierwszy składnik: ${\log }_{25}1=0$, bo logarytm z jedynki przy dowolnej podstawie zawsze wynosi zero.
2. Obliczamy ${\log }_{25}5$. Ponieważ $25=5^2$, to $5=25^{\frac{1}{2}}$, więc:
   $${\log }_{25}5=\frac{1}{2}$$
3. Podstawiamy do wyrażenia:
   $$0-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$

1. Korzystamy z własności logarytmów ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$:
   $${\log }_{9}27+{\log }_{9}3={\log }_9(27\cdot 3)={\log }_{9}81$$
2. Zapisujemy $81$ jako potęgę liczby $9$ i obliczamy logarytm:
   $${\log }_{9}81={\log }_9{9}^2=2$$