Wzory maturalne z matematyki

Karta wzorów odtwarza informator CKE „Wybrane wzory matematyczne”, z którego korzystasz na maturze podstawowej i rozszerzonej.

Karta wzorów

1.Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej $x$ definiujemy wzorem:

∣ x ∣ = {\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

Liczba $∣ x ∣$ jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej $x$ od punktu o współrzędnej $0$ .

Dla dowolnej liczby $x$ mamy:

∣ x ∣ \geq 0

∣ x ∣ = 0 ⟺ x = 0

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ mamy:

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

∣ x - y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

∣ x \cdot y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣

Ponadto, jeśli $y \neq 0$ , to:

| \frac{x}{y} | = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ oraz $r \geq 0$ mamy:

∣ x - a ∣ \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r

∣ x - a ∣ \geq r ⟺ x \leq a - r lub x \geq a + r

Zadania z działu „Wartość bezwzględna”

2.Potęgi i pierwiastki

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ definiujemy jej $n$ -tą potęgę:

a^{n} = \underset{n razy}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}

Pierwiastkiem arytmetycznym $\sqrt[n]{a}$ stopnia $n$ z liczby $a \geq 0$ nazywamy liczbę $b \geq 0$ taką, że $b^{n} = a$ .

W szczególności, dla każdej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest równość:

\sqrt{a^{2}} = ∣ a ∣

Jeżeli $a < 0$ oraz liczba $n$ jest nieparzysta, to $\sqrt[n]{a}$ oznacza liczbę $b < 0$ taką, że $b^{n} = a$ . W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Niech $m$ , $n$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:

dla a \neq 0 ⁣ : a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} oraz a^{0} = 1

dla a \geq 0 ⁣ : a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

dla a > 0 ⁣ : a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}

Niech $r$ , $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to:

a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}

(a^{r})^{s} = a^{r \cdot s}

\frac{a^{r}}{a^{s}} = a^{r - s}

(a \cdot b)^{r} = a^{r} \cdot b^{r}

{(\frac{a}{b})}^{r} = \frac{a^{r}}{b^{r}}

Jeżeli wykładniki $r$ , $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

Niech $x$ , $y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli $a \in (0, 1)$ , to nierówność $a^{x} < a^{y}$ jest równoważna nierówności $x > y$ .

Jeżeli $a \in (1, + \infty)$ , to nierówność $a^{x} < a^{y}$ jest równoważna nierówności $x < y$ .

Zadania z działu „Potęgi i pierwiastki”

3.Logarytmy

Niech $a > 0$ i $a \neq 1$ . Logarytmem $\log_{a} b$ liczby $b > 0$ przy podstawie $a$ nazywamy wykładnik $c$ potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ :

\log_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

Równoważnie:

a^{\log_{a} b} = b

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x > 0$ , $y > 0$ oraz $r$ prawdziwe są równości:

\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y

\log_{a} x^{r} = r \cdot \log_{a} x

\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y

Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ , $b \neq 1$ oraz $c > 0$ , to:

\log_{b} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{a} b}

W szczególności:

\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}

Zapisy $\log x$ oraz $\lg x$ oznaczają $\log_{10} x$ .

Zadania z działu „Logarytmy”

4.Silnia. Współczynnik dwumianowy

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie:

n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

Ponadto przyjmujemy umowę, że $0! = 1$ .

Dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 0$ prawdziwa jest równość:

(n + 1)! = n! \cdot (n + 1)

Dla liczb całkowitych $n$ , $k$ spełniających warunki $0 \leq k \leq n$ definiujemy współczynnik dwumianowy $(\binom{n}{k})$ (symbol Newtona):

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Prawdziwe są równości:

(\binom{n}{k}) = \frac{n (n - 1) (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}{k!}

(\binom{n}{0}) = 1

(\binom{n}{1}) = n

(\binom{n}{n - 1}) = n

(\binom{n}{n}) = 1

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})

Zadania z działu „Kombinatoryka”

5.Wzór dwumianowy Newtona

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ mamy:

(a + b)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + \dots + (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) a b^{n - 1} + (\binom{n}{n}) b^{n}

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ :

(a - b)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} - (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + \dots + (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} + \dots + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) b^{n}

6.Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ mamy:

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a^{n - k} b^{k - 1} + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})

W szczególności:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

a^{3} - 1 = (a - 1) (a^{2} + a + 1)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

a^{3} + 1 = (a + 1) (a^{2} - a + 1)

a^{n} - 1 = (a - 1) (a^{n - 1} + a^{n - 2} + \dots + a + 1)

Zadania z działu „Wyrażenia algebraiczne”Zadania z działu „Równania”

7.Funkcja kwadratowa

Wyróżnikiem $Δ$ trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ , $b, c \in R$ ) zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę

Δ = b^{2} - 4 a c

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq 0$ , $b, c \in R$ , $x \in R$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (p, q) gdzie p = - \frac{b}{2 a}, q = - \frac{Δ}{4 a}

Gdy $a < 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi. Gdy $a > 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego $a x^{2} + b x + c = 0$ ) zależy od wyróżnika $Δ$ :

1. jeżeli $Δ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

2. jeżeli $Δ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):

x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}

3. jeżeli $Δ < 0$ , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

f (x) = a (x - p)^{2} + q

Jeżeli $Δ \geq 0$ , to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Wzory Viète'a. Jeżeli $Δ \geq 0$ , to

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Zadania z działu „Równania”Zadania z działu „Funkcja kwadratowa”

8.Ciągi

Wzór na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , o pierwszym wyrazie $a_{1}$ i różnicy $r$ :

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

Wzory na sumę $S_{n}$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) r}{2} \cdot n

Dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ prawdziwa jest równość:

a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} dla n \geq 2

Wzór na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , o pierwszym wyrazie $a_{1}$ i ilorazie $q$ :

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} dla n \geq 2

Wzory na sumę $S_{n}$ początkowych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego:

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q} dla q \neq 1

S_{n} = n \cdot a_{1} dla q = 1

Dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ prawdziwa jest równość:

(a_{n})^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} dla n \geq 2

Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ , określony dla $n \geq 1$ , o ilorazie $q$ . Niech $(S_{n})$ oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , to znaczy ciąg określony wzorem $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ dla $n \geq 1$ .

Jeżeli $∣ q ∣ < 1$ , to ciąg $(S_{n})$ ma granicę równą:

S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}

Granicę tę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ .

Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych. Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ , określone dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , są zbieżne i $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ oraz $\lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ , to ciągi $(a_{n} + b_{n})$ , $(a_{n} - b_{n})$ , $(a_{n} \cdot b_{n})$ są zbieżne, a ponadto:

\lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b

\lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b

\lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b

Jeżeli ponadto $b_{n} \neq 0$ dla $n \geq 1$ oraz $b \neq 0$ , to ciąg $(\frac{a_{n}}{b_{n}})$ jest zbieżny i

\lim_{n \to \infty} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}

Twierdzenie o trzech ciągach. Jeżeli wyrazy ciągów $(a_{n})$ , $(b_{n})$ i $(c_{n})$ , określonych dla $n \geq 1$ , spełniają nierówność $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ dla $n \geq 1$ , a ciągi $(a_{n})$ i $(c_{n})$ są zbieżne do wspólnej granicy $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = g$ , to ciąg $(b_{n})$ jest zbieżny, a ponadto $\lim_{n \to \infty} b_{n} = g$ .

Procent składany. Jeżeli kapitał początkowy $K_{0}$ złożymy na okres $n$ lat na lokacie bankowej, której oprocentowanie wynosi $p %$ w skali rocznej, a kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy $K_{n}$ jest określony wzorem:

K_{n} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n}

Wybrane granice:

\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 dla ka \dot{z} dego a > 0

\lim_{n \to \infty} q^{n} = 0 dla ka \dot{z} dego q \in (- 1, 1)

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0 dla ka \dot{z} dego k > 0

\lim_{n \to \infty} n^{k} = + \infty dla ka \dot{z} dego k > 0

Zadania z działu „Ciągi”

9.Trygonometria

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

\sin α = \frac{a}{c}

\cos α = \frac{b}{c}

tg α = \frac{a}{b}

Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta

\sin α = \frac{y}{r}

\cos α = \frac{x}{r}

tg α = \frac{y}{x}, o ile x \neq 0

gdzie

r = ∣ O M ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} > 0

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

tg α = \frac{\sin α}{\cos α} dla α \neq \frac{1}{2} π + k π, k \in Z

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

$α$	$0^{\circ}$	$30^{\circ} \ \frac{1}{6} π$	$45^{\circ} \ \frac{1}{4} π$	$60^{\circ} \ \frac{1}{3} π$	$90^{\circ} \ \frac{1}{2} π$
$\sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos α$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nie istnieje

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów. Dla dowolnych kątów $α$ oraz $β$ prawdziwe są równości:

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β

\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β

\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β

\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β

Ponadto:

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β} gdy α, β, α + β \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z

tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β} gdy α, β, α - β \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z

Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

\sin 2 α = 2 \sin α \cos α

\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α

\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1

\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α

tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α} o ile tg α istnieje i {tg}^{2} α \neq 1

Wybrane wzory redukcyjne

\sin (90^{\circ} - α) = \cos α

\cos (90^{\circ} - α) = \sin α

\sin (90^{\circ} + α) = \cos α

\cos (90^{\circ} + α) = - \sin α

\sin (180^{\circ} - α) = \sin α

\cos (180^{\circ} - α) = - \cos α

tg (180^{\circ} - α) = - tg α

\sin (180^{\circ} + α) = - \sin α

\cos (180^{\circ} + α) = - \cos α

tg (180^{\circ} + α) = tg α

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}

\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}

\sin α \cdot \sin β = - \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)]

\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)]

\sin α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]

Okresowość funkcji trygonometrycznych. Dla każdego kąta $α$ i liczby całkowitej $k$ prawdziwe są związki:

\sin (α + k \cdot 360^{\circ}) = \sin α

\cos (α + k \cdot 360^{\circ}) = \cos α

Ponadto jeżeli $α \neq 90^{\circ} + m \cdot 180^{\circ}$ (gdzie $m \in Z$ ), to:

tg (α + k \cdot 180^{\circ}) = tg α

Zadania z działu „Trygonometria”

10.Planimetria

Przyjmujemy następujące oznaczenia w trójkącie $A B C$ :

$a, b, c$ – długości boków w trójkącie $A B C$ ;

$α, β, γ$ – miary kątów wewnętrznych trójkąta leżących, odpowiednio, przy wierzchołkach $A$ , $B$ oraz $C$ ;

$R, r$ – długości promieni okręgów, odpowiednio, opisanego i wpisanego w trójkąt $A B C$ ;

$h_{a}, h_{b}, h_{c}$ – wysokości trójkąta opuszczone, odpowiednio, z wierzchołków $A$ , $B$ i $C$ ;

$p$ – połowa obwodu trójkąta $A B C$ , tj.

p = \frac{a + b + c}{2}

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego). Jeżeli w trójkącie $A B C$ kąt $γ$ jest kątem prostym, to:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Jeżeli w trójkącie $A B C$ długości boków spełniają równość $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , to kąt $γ$ jest kątem prostym.

Twierdzenie sinusów

\frac{a}{\sin α} = 2 R, \frac{b}{\sin β} = 2 R, \frac{c}{\sin γ} = 2 R

Twierdzenie cosinusów

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos β

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos γ

Wzory na pole trójkąta $A B C$

P_{△ A B C} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} c \cdot h_{c}

P_{△ A B C} = \frac{1}{2} a b \cdot \sin γ = \frac{1}{2} b c \cdot \sin α = \frac{1}{2} c a \cdot \sin β

P_{△ A B C} = \frac{a b c}{4 R}

P_{△ A B C} = p \cdot r

P_{△ A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

P_{△ A B C} = \frac{1}{2} a^{2} \cdot \frac{\sin β \cdot \sin γ}{\sin α} = \frac{1}{2} b^{2} \cdot \frac{\sin γ \cdot \sin α}{\sin β} = \frac{1}{2} c^{2} \cdot \frac{\sin α \cdot \sin β}{\sin γ}

P_{△ A B C} = 2 R^{2} \cdot \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym.
Przyjmijmy, że w trójkącie $A B C$ kąt przy wierzchołku $C$ jest kątem prostym. Niech $D$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ na podstawę $A B$ trójkąta. Wówczas:

h_{c} = \sqrt{∣ A D ∣ \cdot ∣ D B ∣}

h_{c} = \frac{a b}{c}

r = \frac{a + b - c}{2}

R = \frac{1}{2} c

a = c \cdot \sin α = c \cdot \cos β = b \cdot tg α = b \cdot \frac{1}{tg β}

Związki miarowe w trójkącie równobocznym
$a$ – długość boku
$h$ – wysokość trójkąta równobocznego:

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

P_{△} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

r = \frac{1}{3} h

R = \frac{2}{3} h

Cechy przystawania trójkątów

a) cecha „bok–bok–bok"
długości boków trójkąta $A B C$ są równe odpowiednim długościom boków trójkąta $K L M$ , np.: $∣ A B ∣ = ∣ K L ∣$ , $∣ B C ∣ = ∣ K M ∣$ , $∣ C A ∣ = ∣ M L ∣$ .

b) cecha „bok–kąt–bok"
długości dwóch boków trójkąta $A B C$ są równe odpowiednim długościom dwóch boków trójkąta $K L M$ i kąty między tymi parami boków są przystające, np.: $∣ A B ∣ = ∣ K L ∣$ , $∣ B C ∣ = ∣ K M ∣$ i $∣ ∠ A B C ∣ = ∣ ∠ L K M ∣$ .

c) cecha „kąt–bok–kąt"
długość jednego boku trójkąta $A B C$ jest równa długości jednego boku trójkąta $K L M$ i kąty przyległe do tego boku trójkąta $A B C$ są przystające do odpowiednich kątów przyległych do odpowiedniego boku trójkąta $K L M$ , np.: $∣ A B ∣ = ∣ K L ∣$ oraz $∣ ∠ B A C ∣ = ∣ ∠ K L M ∣$ i $∣ ∠ A B C ∣ = ∣ ∠ L K M ∣$ .

Cechy podobieństwa trójkątów

a) cecha „bok–bok–bok"
długości boków trójkąta $A B C$ są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta $K L M$ , np.: $\frac{∣ A B ∣}{∣ K L ∣} = \frac{∣ B C ∣}{∣ L M ∣} = \frac{∣ C A ∣}{∣ M K ∣}$ .

b) cecha „bok–kąt–bok"
długości dwóch boków trójkąta $A B C$ są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków trójkąta $K L M$ i kąty między tymi parami boków są przystające, np.: $\frac{∣ A B ∣}{∣ K L ∣} = \frac{∣ A C ∣}{∣ K M ∣}$ i $∣ ∠ B A C ∣ = ∣ ∠ L K M ∣$ .

c) cecha „kąt–kąt–kąt"
kąty trójkąta $A B C$ są przystające do odpowiednich kątów trójkąta $K L M$ , np.: $∣ ∠ B A C ∣ = ∣ ∠ L K M ∣$ i $∣ ∠ A B C ∣ = ∣ ∠ K L M ∣$ i $∣ ∠ A C B ∣ = ∣ ∠ K M L ∣$ .

Twierdzenie o dwusiecznej kąta.

Jeżeli dwusieczna kąta wewnętrznego (zewnętrznego) trójkąta $A B C$ poprowadzona z wierzchołka $C$ przecina prostą zawierającą odcinek $A B$ w punkcie $D$ , to:

\frac{∣ A D ∣}{∣ B D ∣} = \frac{∣ A C ∣}{∣ B C ∣}

Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego).

Różne proste $A B$ i $C D$ przecinają się w punkcie $P$ , przy czym spełniony jest jeden z warunków:

$—$ punkt $A$ leży wewnątrz odcinka $P B$ oraz punkt $C$ leży wewnątrz odcinka $P D$

LUB

$—$ punkt $𝐴$ leży na zewnątrz odcinka $𝑃 𝐵$ oraz punkt $𝐶$ leży na zewnątrz odcinka $𝑃 𝐷$

Jeżeli $\frac{∣ A B ∣}{∣ P A ∣} = \frac{∣ C D ∣}{∣ P C ∣}$ , to proste $A C$ i $B D$ są równoległe.

Jeżeli proste $A C$ i $B D$ są równoległe, to $\frac{∣ A B ∣}{∣ P A ∣} = \frac{∣ C D ∣}{∣ P C ∣}$ .

Koło

Pole $P$ koła o promieniu $r$ jest równe:

P = π r^{2}

Obwód $L$ koła o promieniu $r$ jest równy:

L = 2 π r

Wycinek koła

Pole $P$ wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $α$ wyrażonym w stopniach jest równe:

P = \frac{α}{360^{\circ}} \cdot π r^{2}

Długość $L$ łuku $A B$ wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $α$ wyrażonym w stopniach jest równa:

L = \frac{α}{360^{\circ}} \cdot 2 π r

Kąty w okręgu

Miara kąta wpisanego w okrąg o środku $O$ jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.

W szczególności kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

Miary kątów wpisanych w okrąg o środku $O$ , opartych na tym samym łuku, są równe.

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą
Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ i cięciwa $A B$ tego okręgu. Prosta $A C$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ , natomiast punkt $P$ leży na tym okręgu i nie należy do kąta $C A B$ . Wtedy:

∣ ∠ A P B ∣ = ∣ ∠ C A B ∣ i ∣ ∠ A O B ∣ = 2 \cdot ∣ ∠ C A B ∣

przy czym wybieramy ten z kątów środkowych $A O B$ , który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta $C A B$ .

Twierdzenie o odcinkach stycznych
Jeżeli styczne do okręgu w punktach $A$ i $B$ przecinają się w punkcie $P$ , to:

∣ P A ∣ = ∣ P B ∣

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach $A$ i $B$ oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie $C$ . Jeżeli proste te przecinają się w punkcie $P$ , to:

∣ P A ∣ \cdot ∣ P B ∣ = ∣ P C ∣^{2}

Czworokąty
Trapez – czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole $P$ trapezu (o podstawach $a$ , $b$ i wysokości $h$ ):

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

Równoległobok – czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole $P$ równoległoboku:

P = a h

P = a \cdot b \cdot \sin α

P = \frac{1}{2} \cdot ∣ A C ∣ \cdot ∣ B D ∣ \cdot \sin γ

Romb – czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Wzory na pole $P$ rombu:

P = a h

P = a^{2} \cdot \sin α

P = \frac{1}{2} \cdot ∣ A C ∣ \cdot ∣ B D ∣

Deltoid – czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole $P$ deltoidu:

P = \frac{1}{2} \cdot ∣ A C ∣ \cdot ∣ B D ∣

Okrąg opisany na czworokącie
Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe $180^{\circ}$ .

α + γ = β + δ

α + γ = 180^{\circ}

β + δ = 180^{\circ}

Okrąg wpisany w czworokąt W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

a + c = b + d

Pola figur podobnych
Jeżeli figura $B$ o polu $P_{B}$ jest podobna do figury $A$ o polu $P_{A}$ (różnym od zera) w skali $k$ , to stosunek pól tych figur jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

\frac{P_{B}}{P_{A}} = k^{2}

Zadania z działu „Planimetria”

11.Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Długość odcinka
Długość odcinka $A B$ o końcach w punktach $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ jest równa:

∣ A B ∣ = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}

Współrzędne środka odcinka
Współrzędne środka $S = (x_{S}, y_{S})$ odcinka $A B$ o końcach w punktach $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ są równe:

x_{S} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}

y_{S} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}

Równanie kierunkowe prostej
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi $O y$ , to można opisać ją równaniem kierunkowym:

y = a x + b

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy prostej.

a = tg α

Prosta o równaniu $y = a x + b$ przecina oś $O y$ w punkcie $(0, b)$ .

Równanie kierunkowe prostej o danym współczynniku kierunkowym $a$ , która przechodzi przez punkt $P = (x_{0}, y_{0})$ :

y = a (x - x_{0}) + y_{0}

Równanie kierunkowe prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ :

y - y_{A} = a (x - x_{A})

gdzie

a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} gdy x_{B} \neq x_{A}

Równanie ogólne prostej

A x + B y + C = 0, gdzie A, B, C \in R i A^{2} + B^{2} \neq 0

Jeżeli $A = 0$ , to prosta jest równoległa do osi $O x$ ; jeżeli $B = 0$ , to prosta jest równoległa do osi $O y$ ; jeżeli $C = 0$ , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Równanie ogólne prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ :

(y - y_{A}) (x_{B} - x_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0

Proste równoległe
Dwie proste o równaniach kierunkowych $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

a_{1} = a_{2}

Dwie proste o równaniach ogólnych $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ oraz $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

A_{1} \cdot B_{2} - A_{2} \cdot B_{1} = 0

Proste prostopadłe
Dwie proste o równaniach kierunkowych $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Dwie proste o równaniach ogólnych $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ oraz $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} = 0

Odległość punktu od prostej
Odległość $d$ punktu $P (x_{0}, y_{0})$ od prostej o równaniu ogólnym $A x + B y + C = 0$ jest równa:

d = \frac{∣ A \cdot x_{0} + B \cdot y_{0} + C ∣}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r > 0$ w postaci kanonicznej:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r > 0$ w postaci ogólnej:

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

gdzie $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Współrzędne wektora, długość wektora, działania na wektorach
Dane są punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ . Współrzędne wektora $\vec{A B}$ zaczepionego w punkcie $A$ :

\vec{A B} = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}]

Jeżeli $\vec{u} = [u_{1}, u_{2}]$ oraz $\vec{v} = [v_{1}, v_{2}]$ są wektorami oraz $a \in R$ , to:

\vec{u} + \vec{v} = [u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}]

a \cdot \vec{u} = [a \cdot u_{1}, a \cdot u_{2}]

Długością $∣ \vec{u} ∣$ wektora $\vec{u} = [u_{1}, u_{2}]$ nazywamy liczbę

∣ \vec{u} ∣ = \sqrt{(u_{1})^{2} + (u_{2})^{2}}

Przekształcenia geometryczne

Przesunięcie o wektor $\vec{u} = [a, b]$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (x + a, y + b)$ .

Symetria osiowa $S_{O x}$ względem osi $O x$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (x, - y)$ .

Symetria osiowa $S_{O y}$ względem osi $O y$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (- x, y)$ .

Symetria środkowa $S_{K}$ względem punktu $K = (a, b)$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (2 a - x, 2 b - y)$ .

W szczególności symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (- x, - y)$ .

Pole trójkąta
Pole trójkąta $A B C$ o wierzchołkach $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ oraz $C = (x_{C}, y_{C})$ jest równe:

P_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot ∣ (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) ∣

Współrzędne środka ciężkości trójkąta
Współrzędne środka ciężkości $S = (x_{S}, y_{S})$ trójkąta $A B C$ o wierzchołkach $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ oraz $C = (x_{C}, y_{C})$ , czyli punktu przecięcia jego środkowych:

x_{S} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}

y_{S} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}

Zadania z działu „Geometria analityczna”

12.Stereometria

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
Prosta $k$ przebija płaszczyznę w punkcie $P$ pod kątem ostrym. Prosta $l$ jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na tę płaszczyznę. Prosta $m$ leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt $P$ . Wówczas prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest prostopadła do prostej $l$ .

Przyjmujemy oznaczenia:
$P_{c}$ – pole powierzchni całkowitej $V$ – objętość
$P_{b}$ – pole powierzchni bocznej $P_{p}$ – pole podstawy

Prostopadłościan

P_{c} = 2 (a b + b c + c a)

V = a b c

gdzie $a, b, c$ są długościami krawędzi prostopadłościanu.

Graniastosłup prosty

P_{b} = O_{b} \cdot h

V = P_{p} \cdot h

gdzie $O_{b}$ jest obwodem podstawy graniastosłupa,
natomiast $h$ – wysokością graniastosłupa.

Ostrosłup

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot h

gdzie $h$ jest wysokością ostrosłupa.

Walec

P_{b} = 2 π r h

P_{c} = 2 π r (r + h)

V = π r^{2} h

gdzie $h$ jest wysokością walca, $O$ – środkiem symetrii podstawy walca,
$r$ – promieniem podstawy walca.

Stożek

P_{b} = π r l

P_{c} = π r (r + l)

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

gdzie $r$ jest promieniem podstawy stożka, $h$ – jego wysokością, natomiast $l$ – tworzącą stożka. Punkt $O$ jest środkiem symetrii podstawy stożka.

Kula

P_{c} = 4 π r^{2}

V = \frac{4}{3} π r^{3}

gdzie $r$ jest promieniem kuli, natomiast $O$ – środkiem symetrii kuli.

Zadania z działu „Geometria przestrzenna”

13.Kombinatoryka

Permutacje
Liczba wszystkich sposobów, na które $n$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $n!$ .

Kombinacje
Liczba wszystkich sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ elementów ( $0 \leq k \leq n$ ), jest równa $(\binom{n}{k})$ .

Wariacje z powtórzeniami
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ (niekoniecznie różnych) wyrazów, jest równa $n^{k}$ .

Wariacje bez powtórzeń
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ różnych wyrazów ( $1 \leq k \leq n$ ), jest równa

\frac{n!}{(n - k)!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

Zadania z działu „Kombinatoryka”

14.Rachunek prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa
Niech $Ω$ będzie niepustym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, natomiast $P$ – prawdopodobieństwem określonym na podzbiorach zbioru $Ω$ . Wtedy:

0 \leq P (A) \leq 1 dla ka \dot{z} dego zdarzenia A \subset Ω

P (\emptyset) = 0

P (Ω) = 1

P (A) \leq P (B) dla A \subset B \subset Ω

P (A^{'}) = 1 - P (A)

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

P (A \cup B) \leq P (A) + P (B)

gdzie $A^{'}$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A \subset Ω$

Twierdzenie (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Niech $Ω$ będzie niepustym skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego $A$ jest równe:

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣ Ω ∣}

gdzie $∣ A ∣$ oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu $A$ , natomiast $∣ Ω ∣$ – liczbę elementów zbioru $Ω$ .

Schemat Bernoullego
Próbą Bernoullego nazywamy doświadczenie losowe, w którym otrzymujemy jeden z dwóch możliwych wyników. Jeden z nich nazywamy sukcesem, a drugi – porażką. Jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu jest równe $p$ , to prawdopodobieństwo porażki jest równe $q = 1 - p$ .

Schematem Bernoullego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń prób Bernoullego. W schemacie Bernoullego prawdopodobieństwo $P_{n} (k)$ uzyskania w $n$ próbach dokładnie $k$ sukcesów ( $0 \leq k \leq n$ ) jest równe:

P_{n} (k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}

Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech $A$ , $B$ będą zdarzeniami losowymi zawartymi w $Ω$ , przy czym $P (B) > 0$ . Prawdopodobieństwem warunkowym $P (A ∣ B)$ zdarzenia $A$ pod warunkiem zaistnienia zdarzenia $B$ nazywamy liczbę:

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia losowe $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ zawarte w $Ω$ spełniają warunki: (1) są parami rozłączne, tzn. $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ dla $i \neq j$ ; (2) $B_{1} \cup B_{2} \cup \dots \cup B_{n} = Ω$ ; (3) $P (B_{i}) > 0$ dla $1 \leq i \leq n$ , to dla każdego zdarzenia losowego $A \subset Ω$ prawdziwa jest równość:

P (A) = P (A ∣ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + P (A ∣ B_{2}) \cdot P (B_{2}) + \dots + P (A ∣ B_{n}) \cdot P (B_{n})

Twierdzenie Bayesa
Jeżeli zdarzenia losowe $A, B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ zawarte w $Ω$ spełniają warunki:
(1) $B_{1}, \dots, B_{n}$ są parami rozłączne
(2) $B_{1} \cup \dots \cup B_{n} = Ω$
(3) $P (B_{i}) > 0$ dla $1 \leq i \leq n$
(4) $P (A) > 0$
to dla każdego $k$ ( $1 \leq k \leq n$ ) prawdziwa jest równość:

P (B_{k} ∣ A) = \frac{P (B_{k}) \cdot P (A ∣ B_{k})}{P (A ∣ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + P (A ∣ B_{2}) \cdot P (B_{2}) + \dots + P (A ∣ B_{n}) \cdot P (B_{n})}

Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Niech $X$ będzie zmienną losową o wartościach $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in R$ , określoną na zbiorze $Ω$ , przy czym $P ({ω : ω \in Ω oraz X (ω) = x_{i}}) = p_{i}$ dla $1 \leq i \leq n$ . Wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$ nazywamy liczbę:

E (X) = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + \dots + x_{n} \cdot p_{n}

Zadania z działu „Prawdopodobieństwo”

15.Parametry danych statystycznych

Średnia arytmetyczna
$\overset{ˉ}{a}$ z liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest równa:

\overset{ˉ}{a} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

Średnia geometryczna
$\overset{ˉ}{g}$ z liczb nieujemnych $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest równa:

\overset{ˉ}{g} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}}

Średnia kwadratowa
$\overset{ˉ}{k}$ z liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest równa:

\overset{ˉ}{k} = \sqrt{\frac{(a_{1})^{2} + (a_{2})^{2} + \dots + (a_{n})^{2}}{n}}

Nierówności między średnimi liczbowymi
Niech $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ będą liczbami nieujemnymi. Wtedy (przy powyższych oznaczeniach) prawdziwe są nierówności:

\overset{ˉ}{k} \geq \overset{ˉ}{a} \geq \overset{ˉ}{g}

Ponadto równość pomiędzy tymi średnimi liczbowymi zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ .

Średnia ważona
$\overset{ˉ}{s}$ z liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , którym przypisano dodatnie wagi – odpowiednio: $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ , jest równa:

\overset{ˉ}{s} = \frac{w_{1} \cdot a_{1} + w_{2} \cdot a_{2} + \dots + w_{n} \cdot a_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

Mediana
Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru $n$ danych liczbowych $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest:

— dla $n$ nieparzystych: $a_{\frac{n + 1}{2}}$ (środkowy wyraz ciągu);

— dla $n$ parzystych: $\frac{1}{2} \cdot (a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2} + 1})$ (średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu).

Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancja $σ^{2}$ danych liczbowych $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ o średniej arytmetycznej $\overset{ˉ}{a}$ jest równa:

σ^{2} = \frac{(a_{1} - \overset{ˉ}{a})^{2} + (a_{2} - \overset{ˉ}{a})^{2} + \dots + (a_{n} - \overset{ˉ}{a})^{2}}{n}

Prawdziwa jest też równość:

σ^{2} = \frac{(a_{1})^{2} + (a_{2})^{2} + \dots + (a_{n})^{2}}{n} - (\overset{ˉ}{a})^{2}

Odchylenie standardowe $σ$ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:

σ = \sqrt{\frac{(a_{1} - \overset{ˉ}{a})^{2} + (a_{2} - \overset{ˉ}{a})^{2} + \dots + (a_{n} - \overset{ˉ}{a})^{2}}{n}}

Zadania z działu „Statystyka”

16.Pochodna funkcji

Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złożonej:

[c \cdot f (x)]^{'} = c \cdot f^{'} (x) dla c \in R

[f (x) + g (x)]^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)

[f (x) - g (x)]^{'} = f^{'} (x) - g^{'} (x)

[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

{[\frac{f (x)}{g (x)}]}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}} gdy g (x) \neq 0

{[g (f (x))]}^{'} = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)

Pochodne wybranych funkcji
Niech $a, b, c, r$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

funkcja	pochodna funkcji
$f (x) = c$	$f^{'} (x) = 0$
$f (x) = a x + b$	$f^{'} (x) = a$
$f (x) = a x^{2} + b x + c$	$f^{'} (x) = 2 a x + b$
$f (x) = x^{r}$	$f^{'} (x) = r \cdot x^{r - 1}$
$f (x) = \frac{a}{x}$	$f^{'} (x) = - \frac{a}{x^{2}}$
$f (x) = \sqrt{x}$	$f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$f (x) = \sin x$	$f^{'} (x) = \cos x$
$f (x) = \cos x$	$f^{'} (x) = - \sin x$
$f (x) = tg x$	$f^{'} (x) = \frac{1}{(\cos x)^{2}}$
$f (x) = e^{x}$	$f^{'} (x) = e^{x}$

gdzie $e$ jest liczbą Eulera; $e \approx 2,72$ .

Równanie stycznej
Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ , to równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(x_{0}, f (x_{0}))$ dane jest wzorem:

y = a (x - x_{0}) + f (x_{0})

gdzie

a = f^{'} (x_{0})

Zadania z działu „Pochodne”

17.Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

$α$ [°]	$\sin α$	$\cos α$	$tg α$
0	0,0000	1,0000	0,0000
1	0,0175	0,9998	0,0175
2	0,0349	0,9994	0,0349
3	0,0523	0,9986	0,0524
4	0,0698	0,9976	0,0699
5	0,0872	0,9962	0,0875
6	0,1045	0,9945	0,1051
7	0,1219	0,9925	0,1228
8	0,1392	0,9903	0,1405
9	0,1564	0,9877	0,1584
10	0,1736	0,9848	0,1763
11	0,1908	0,9816	0,1944
12	0,2079	0,9781	0,2126
13	0,2250	0,9744	0,2309
14	0,2419	0,9703	0,2493
15	0,2588	0,9659	0,2679
16	0,2756	0,9613	0,2867
17	0,2924	0,9563	0,3057
18	0,3090	0,9511	0,3249
19	0,3256	0,9455	0,3443
20	0,3420	0,9397	0,3640
21	0,3584	0,9336	0,3839
22	0,3746	0,9272	0,4040
23	0,3907	0,9205	0,4245
24	0,4067	0,9135	0,4452
25	0,4226	0,9063	0,4663
26	0,4384	0,8988	0,4877
27	0,4540	0,8910	0,5095
28	0,4695	0,8829	0,5317
29	0,4848	0,8746	0,5543
30	0,5000	0,8660	0,5774
31	0,5150	0,8572	0,6009
32	0,5299	0,8480	0,6249
33	0,5446	0,8387	0,6494
34	0,5592	0,8290	0,6745
35	0,5736	0,8192	0,7002
36	0,5878	0,8090	0,7265
37	0,6018	0,7986	0,7536
38	0,6157	0,7880	0,7813
39	0,6293	0,7771	0,8098
40	0,6428	0,7660	0,8391
41	0,6561	0,7547	0,8693
42	0,6691	0,7431	0,9004
43	0,6820	0,7314	0,9325
44	0,6947	0,7193	0,9657
45	0,7071	0,7071	1,0000
46	0,7193	0,6947	1,0355
47	0,7314	0,6820	1,0724
48	0,7431	0,6691	1,1106
49	0,7547	0,6561	1,1504
50	0,7660	0,6428	1,1918
51	0,7771	0,6293	1,2349
52	0,7880	0,6157	1,2799
53	0,7986	0,6018	1,3270
54	0,8090	0,5878	1,3764
55	0,8192	0,5736	1,4281
56	0,8290	0,5592	1,4826
57	0,8387	0,5446	1,5399
58	0,8480	0,5299	1,6003
59	0,8572	0,5150	1,6643
60	0,8660	0,5000	1,7321
61	0,8746	0,4848	1,8040
62	0,8829	0,4695	1,8807
63	0,8910	0,4540	1,9626
64	0,8988	0,4384	2,0503
65	0,9063	0,4226	2,1445
66	0,9135	0,4067	2,2460
67	0,9205	0,3907	2,3559
68	0,9272	0,3746	2,4751
69	0,9336	0,3584	2,6051
70	0,9397	0,3420	2,7475
71	0,9455	0,3256	2,9042
72	0,9511	0,3090	3,0777
73	0,9563	0,2924	3,2709
74	0,9613	0,2756	3,4874
75	0,9659	0,2588	3,7321
76	0,9703	0,2419	4,0108
77	0,9744	0,2250	4,3315
78	0,9781	0,2079	4,7046
79	0,9816	0,1908	5,1446
80	0,9848	0,1736	5,6713
81	0,9877	0,1564	6,3138
82	0,9903	0,1392	7,1154
83	0,9925	0,1219	8,1443
84	0,9945	0,1045	9,5144
85	0,9962	0,0872	11,4301
86	0,9976	0,0698	14,3007
87	0,9986	0,0523	19,0811
88	0,9994	0,0349	28,6363
89	0,9998	0,0175	57,2900
90	1,0000	0,0000	–

Tablica z wyszukiwarką kąta i wartości