Zbiór zadań

Znaleziono 7 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Rozwiązujemy równanie $|x+4|=7$:
   $$x+4=7⟹x_1=3\text{lub}x+4=-7⟹x_2=-11$$
2. Obliczamy sumę:
   $$x_1+x_2=3+(-11)=-8$$

1. Nierówność $|x-1|\ge 3$ oznacza, że liczba $x-1$ jest oddalona od zera o co najmniej $3$, czyli spełnia jedną z dwóch nierówności:
   $$x-1\ge 3\text{lub}x-1\le -3$$
2. Rozwiązujemy obie nierówności:
   $$\begin{array}{rl}& x-1\ge 3\\ & x\ge 4\end{array}\begin{array}{rl}& x-1\le -3\\ & x\le -2\end{array}$$
3. Zbiorem rozwiązań jest suma obu przedziałów, z domkniętymi końcami (bo nierówność jest nieostra): $(-\infty ,-2]\cup [4,+\infty )$. Na osi liczbowej odpowiada temu zamalowany obszar na zewnątrz $[-2,4]$ z wypełnionymi (domkniętymi) kółkami w punktach $-2$ i $4$ — czyli rysunek B.

1. Ponieważ $|4x-8|=4\cdot |x-2|$ oraz $|2-x|=|x-2|$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$, dane równanie można przekształcić równoważnie do postaci:
   $$4\cdot |x-2|=|x+2|+4$$
2. Rozważamy trzy przedziały: $(-\infty ,-2)$, $[-2,2)$, $[2,+\infty )$.
3. Dla $x\in (-\infty ,-2)$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& -4x+8=-x-2+4\\ & -3x=-6\\ & x=2\end{array}$$
4. Ponieważ $2\notin (-\infty ,-2)$, ten przypadek nie daje rozwiązania.
5. Dla $x\in [-2,2)$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& -4x+8=x+2+4\\ & -5x=-2\\ & x=\frac{2}{5}\end{array}$$
6. Ponieważ $\frac{2}{5}\in [-2,2)$, liczba $\frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem.
7. Dla $x\in [2,+\infty )$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& 4x-8=x+2+4\\ & 3x=14\\ & x=\frac{14}{3}\end{array}$$
8. Ponieważ $\frac{14}{3}\in [2,+\infty )$, liczba $\frac{14}{3}$ jest rozwiązaniem.
9. Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby $\frac{2}{5}$ oraz $\frac{14}{3}$.

1. Zbiór zaznaczony na osi to $(-\infty ,-2]\cup [5,+\infty )$. Środek odcinka $[-2,5]$ wynosi $\frac{-2+5}{2}=1,5$, a połowa jego długości $\frac{7}{2}=3,5$.
2. Nierówność $|x-1,5|\ge 3,5$ opisuje liczby oddalone od $1,5$ o co najmniej $3,5$, czyli $x\le -2$ lub $x\ge 5$.
   $$|x-1,5|\ge 3,5$$

1. Środek przedziału $(-3,7)$ to $\frac{-3+7}{2}=2$, a promień (połowa długości) to $\frac{7-(-3)}{2}=5$. Zatem nierówność przyjmuje postać:
   $$|x-2|<5$$